数据结构笔记（二十九）--最小生成树（prim算法思想）

2024-05-12 15:53:57

最小生成树（prim算法思想）

一、预知概念

直达：两顶点直接相连接
路径：两顶点之间可以有其他顶点，但最终两顶点是能够连接的
假如我们有四台电脑，怎样连接才能保证这四台电脑两两相互通信组成局域网呢？需要几条网线
完全图：两两连接需要4*(4-1)/2=6条网线

很明显网线是比较多的，我们需要删除一些网线，但是至少要保留几根网线才能保证四台电脑两两相通呢？这里就会用到生成树的概念。我们知道至少删除到至少剩下3根网线就不能再删除了。也就是如下图所示
也就是说n个顶点只要要有n-1条边才能保证n个顶点是互通的。为什么是这样呢？这是因为是树的概念，对于树来说，如果有n个顶点，它的边数一定是n-1 （树的每个顶点都有且只有一个直接前驱（除根节点外））。回到四台电脑的连通问题，我们确定了至少3根网线才能使得四台电脑相互连通，但是连接方案并不唯一，也就是说其对应的生成树并不唯一。
如果我们将网线的长度（代价）也考虑进去，那么我们就会选择三条网线之和最小的连接方式，即我们最终要找到一个代价最小的生成树。因此最小生成树常常用来解决n个城市建立通讯网络问题。

二、最小生成树要解决的问题

三、根据图求最小生成树的算法

四、普里姆算法（prim算法）

1、普里姆（prim）算法基本思想

2、普里姆（prim）算法举例

五、伪代码实现prim算法

1、基本思想及实例

1、将一个连通网里的顶点分为两个集合，一个U集合，一个V-U集合，U集合是生成树上的顶点集合，V-U集合是没有被选中的网中顶点的集合，任意选择网中的一个顶点作为生成树的根，每次在V-U集合中选中一个与生成树上的顶点集U中某一个顶点连线中权值最小的顶点，将此顶点加入到生成树顶点里，重复上述操作。

2、伪代码实现

3、伪代码实现上述案例过程

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