一、理论基础

1、蝗虫优化算法

请参考这里。

2、正弦余弦算法

请参考这里。

3、SC-MGOA算法

（1）融入正弦余弦算法

本文的两种位置更新方式通过转换概率控制。当转换概率设置为一个常数时，并不利于平衡算法的全局搜索和局部开发，因此本文将转换概率设置为一个随着迭代自适应调整的函数，有利于算法通过动态控制转换概率的大小，进一步调控全局搜索和局部开发的平衡，转换概率的定义如下：Pv=exp(μ×(tTmax)3)(1)P_v=exp\left(\mu×\left(\frac{t}{T_{max}}\right)^3\right)\tag{1}Pv=exp(μ×(Tmaxt)3)(1)其中，ttt是当前迭代次数，TmaxT_{max}Tmax是最大迭代次数，μ\muμ为转换因子，取值为μ=0.01\mu=0.01μ=0.01。因为算法应在迭代前期尽可能的进行全局搜索，在后期进行局部开发，所以在转换的概率的控制下，当rand＜Pv\text{rand}＜P_vrand＜Pv时，算法根据正弦余弦机制更新位置，否则，按照GOA原本的方式更新位置。

（2）对正弦余弦算法进行改进

对融进GOA算法的SCA部分的参数R1R_1R1的收敛方式进行改进，改进后的表达式如下：R1=a×tTmaxcos(πt)3(2)R_1=a×\frac{t}{T_{max}}cos(\pi t)^3\tag{2}R1=a×Tmaxtcos(πt)3(2)式中引入了余弦函数，利用余弦函数的数学特点，让R1R_1R1在一定范围内来回震荡，使算法的全局探索和局部开发得到进一步的平衡。
其次，为了在位置更新处充分利用个体位置信息，使个体位置对新位置的影响权重随迭代发生变化，引入动态权重系数，权重系数β\betaβ的表达式如下：β=exp(1−tTmax)−bt(3)\beta=exp(1-\frac{t}{T_{max}})^{-bt}\tag{3}β=exp(1−Tmaxt)−bt(3)其中，bbb为服从指数分布的优化因子，即b∼E(λ)b\sim E(\lambda)b∼E(λ)，本文中λ\lambdaλ取值为种群数NNN。在算法迭代前期，β\betaβ较大且下降缓慢，即个体位置对算法有较大的影响力，以充分进行全局探索，在算法后期，β\betaβ急速减小以减少个体位置的影响力，让算法进行充分的局部开发。改进后的正弦余弦机制更新方式如下：Xid(t+1)={β×Xid(t)+R1×sin⁡(R2)×∣R3Pbestd(t)−Xid(t)∣,R4<0.5β×Xid(t)+R1×cos⁡(R2)×∣R3Pbestd(t)−Xid(t)∣,R4≥0.5(4)X_i^d(t+1)=\begin{dcases}\beta×X_i^d(t)+R_1×\sin(R_2)×|R_3P_{best}^d(t)-X_i^d(t)|,R_4<0.5\\\beta×X_i^d(t)+R_1×\cos(R_2)×|R_3P_{best}^d(t)-X_i^d(t)|,R_4≥0.5\end{dcases}\tag{4}Xid(t+1)={β×Xid(t)+R1×sin(R2)×∣R3Pbestd(t)−Xid(t)∣,R4<0.5β×Xid(t)+R1×cos(R2)×∣R3Pbestd(t)−Xid(t)∣,R4≥0.5(4)

（3）目标位置的变异选择

本文对目标位置进行变异更新，使算法具有跳出局部最优的概率，提升算法的收敛精度和收敛速度。本文在GOA算法的目标位置更新后，以一定概率对目标位置进行变异，提高每次迭代后蝗虫解的质量，使算法能够避免陷入局部最优。其中变异概率PmP_mPm定义如下：Pm=fitness−lg(tTmax)3(5)P_m=fitness-lg(\frac{t}{T_{max}})^3\tag{5}Pm=fitness−lg(Tmaxt)3(5)其中，fitnessfitnessfitness是目标位置的适应度值，式(5)充分利用了每一代的目标值，随着算法的迭代，PmP_mPm与目标值以及迭代次数紧密结合，动态调整变异概率的大小。当rand＜Pm\text{rand}＜P_mrand＜Pm时，对目标位置进行变异操作，生成新解：Xnewd=bestd+r⋅Xij(6)X_{new}^d=best^d+r\cdot X_i^j\tag{6}Xnewd=bestd+r⋅Xij(6)其中，XnewdX_{new}^dXnewd是第ddd维通过变异操作产生的新解，bestdbest^dbestd是第ddd维的目标位置，rrr是服从(0,1)(0,1)(0,1)均匀分布的随机数，XijX_i^jXij是随机选择的第iii只蝗虫在第jjj维的位置。
对目标位置进行变异操作虽然能让算法跳出局部最优，但是不能保证新位置优于原目标位置，所以本文在变异操作后面加入了贪婪原则，通过比较适应度之后再决定是否更新目标位置：bestd={Xnewd,f(Xnewd)<f(bestd)bestd,f(Xnewd)>f(bestd)(7)best^d=\begin{dcases}X_{new}^d,f(X_{new}^d)<f(best^d)\\best^d,f(X_{new}^d)>f(best^d)\end{dcases}\tag{7}bestd={Xnewd,f(Xnewd)<f(bestd)bestd,f(Xnewd)>f(bestd)(7)利用贪婪选择策略使算法在迭代过程中能够充分利用目标位置信息，提升算法收敛速度和精度，促进算法的寻优性能。

图1 改进算法流程图

二、仿真实验与分析

设置种群规模N=30N=30N=30，最大迭代次数Tmax=500T_{max}=500Tmax=500，空间维度dim=30dim=30dim=30，独立运算30次。以F1、F2、F3为例。
下图给出了SC-MGOA算法和SSA算法、ALO算法和SCA算法的收敛曲线对比图。
最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F1
SSA：最大值: 3.0467e-06,最小值:3.7203e-08,平均值:3.427e-07,标准差:6.0464e-07
ALO：最大值: 0.0060042,最小值:0.00011538,平均值:0.0015261,标准差:0.0014649
SCA：最大值: 67.712,最小值:0.029329,平均值:9.904,标准差:17.0281
SC_MGOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F2
SSA：最大值: 5.4712,最小值:0.062379,平均值:2.1749,标准差:1.5069
ALO：最大值: 128.4936,最小值:2.0334,平均值:51.5495,标准差:48.173
SCA：最大值: 0.53317,最小值:0.00022484,平均值:0.045961,标准差:0.10527
SC_MGOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F3
SSA：最大值: 4862.9184,最小值:389.8293,平均值:1580.0408,标准差:1045.8012
ALO：最大值: 9800.2649,最小值:1973.1802,平均值:4682.1538,标准差:2100.9291
SCA：最大值: 27243.3394,最小值:1285.1373,平均值:8935.6313,标准差:7164.3277
SC_MGOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0

结果证明了SC-MGOA算法相对于其他比较算法在寻优精度、寻优速度和鲁棒性等方面的优越性。

三、参考文献

[1] 林杰, 何庆. 融合正弦余弦和变异选择的蝗虫优化算法[J]. 小型微型计算机系统, 2021, 42(4): 706-713.

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