一、理论基础

1、蝴蝶优化算法

请参考这里。

2、改进蝴蝶优化算法

（1）基于余弦相似度位置更新策略

引入余弦相似度衡量最优蝴蝶位置与周围蝴蝶的分布情况，通过构造当前蝴蝶个体位置和最优个体之间的向量，余弦相似度为分布情况的指标，更新余弦相似度较高且适应度较差的蝴蝶个体位置，既加快算法收敛的速度，也保持了种群的多样性。策略具体细节如下：
首先构建a,b\boldsymbol{a,b}a,b向量：a=xit−g∗b=xjt−g∗(1)\begin{aligned}\boldsymbol a=\boldsymbol x_i^t-\boldsymbol g^*\\ \boldsymbol b=\boldsymbol x_j^t-\boldsymbol g^*\end{aligned}\tag{1}a=xit−g∗b=xjt−g∗(1)其中，第ttt次迭代的当前蝴蝶位置，记为xit\boldsymbol x_i^txit。xjt\boldsymbol x_j^txjt表示第ttt次迭代其他蝴蝶位置中的一个，g∗\boldsymbol g^*g∗为第ttt代中最优蝴蝶的位置。
定义cos⁡j(a,b)\cos_j(\boldsymbol a, \boldsymbol b)cosj(a,b)为两个向量之间的余弦相似度，取值范围为[−1,1][-1,1][−1,1]，个体位置之间相似度计算公式为：cos⁡j(a,b)=a⋅b∣a∣∣b∣(2)\cos_j(\boldsymbol a, \boldsymbol b)=\frac{\boldsymbol{a\cdot b}}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}\tag{2}cosj(a,b)=∣a∣∣b∣a⋅b(2)其中，分子为向量a,b\boldsymbol a,\boldsymbol ba,b的内积，分母为向量a,b\boldsymbol a, \boldsymbol ba,b的模之积。
位置更新公式如下：{xjt=g∗+α1n∣∣xjt∣∣2Rrg∗f(xjt)≥f(xit)xit=xit+δRexitotherwise(3)\begin{dcases}\boldsymbol x_j^t=\boldsymbol g^*+\alpha\frac{1}{n||\boldsymbol x_j^t||_2}\boldsymbol R_r\boldsymbol g^*\quad f(\boldsymbol x_j^t)≥f(\boldsymbol x_i^t)\\\boldsymbol x_i^t=\boldsymbol x_i^t+\delta\boldsymbol R_e\boldsymbol x_i^t\quad \quad \quad \quad \,\,\,\,otherwise\end{dcases}\tag{3}⎩⎨⎧xjt=g∗+αn∣∣xjt∣∣21Rrg∗f(xjt)≥f(xit)xit=xit+δRexitotherwise(3)其中f(xit)f(\boldsymbol x_i^t)f(xit)和f(xjt)f(\boldsymbol x_j^t)f(xjt)分别为蝴蝶个体xit\boldsymbol x_i^txit和xjt\boldsymbol x_j^txjt的适应度值，α\alphaα为旋转因子；Rr∈Rn×n\boldsymbol R_r∈\boldsymbol R^{n×n}Rr∈Rn×n是一个其元素取值在 [−1,1][-1,1][−1,1]之间均匀分布的随机矩阵，∣∣⋅∣∣||\boldsymbol\cdot||∣∣⋅∣∣为向量2-范数，理论上能将位置旋转到以半径为α\alphaα的任何位置。Re∈Rn×nR_e∈R^{n×n}Re∈Rn×n是一个其非零元素取值服从高斯分布随机对角矩阵，从理论上看，能将位置伸缩到服从δ\deltaδ的范围内。

（2）根据适应度动态调整转换概率策略

本文采用文献[1]所提出的自适应机制来描述切换概率，并且做了改进。如公式(1)所示。Pit=Pmin+(log(∣fmint∣)+∣fmint∣log(∣fit∣)+∣fit∣)×(Pmax−Pmin)(4)P_i^t=P_{min}+\left(\frac{log(|f_{min}^t|)+|f_{min}^t|}{log(|f_i^t|)+|f_i^t|}\right)×(P_{max}-P_{min})\tag{4}Pit=Pmin+(log(∣fit∣)+∣fit∣log(∣fmint∣)+∣fmint∣)×(Pmax−Pmin)(4)其中，PitP_i^tPit是在第ttt次迭代中第iii只蝴蝶个体位置的切换概率，PminP_{min}Pmin和PmaxP_{max}Pmax分别是切换概率的最小值和最大值，fmintf_{min}^tfmint表示第ttt次迭代的最好适应度，fitf_i^tfit表示在第ttt次迭代第iii只蝴蝶的适应度。蝴蝶位置对应的适应度接近最优的适应度时，其切换的概率接近大值，更容易进入全局的引导；反之当前个体的适应度与最好的适应度相差较大时，其转换概率接近最小值，更容易进入局部的引导。这样有利于将好的个体引导全局，较差的个体得到更多的机会引导。

（3）自适应混合惯性权重

为了协调算法的全局和局部搜索能力引入了自适应惯性权重(5)。w=β×(1−exp⁡(∣fmint∣)+∣fmint∣exp⁡(∣fit∣)+∣fit∣)+K(5)w=\beta×\left(1-\frac{\exp(|f_{min}^t|)+|f_{min}^t|}{\exp(|f_i^t|)+|f_i^t|}\right)+K\tag{5}w=β×(1−exp(∣fit∣)+∣fit∣exp(∣fmint∣)+∣fmint∣)+K(5)其中，KKK为调整过的sigmoidsigmoidsigmoid函数(6)。K=1−1/(1+exp⁡(−(−15t−7Max_iter)/Max_iter))(6)K=1-1/(1+\exp(-(-15t-7Max\_iter)/Max\_iter))\tag{6}K=1−1/(1+exp(−(−15t−7Max_iter)/Max_iter))(6)KKK值是调整过的sigmoidsigmoidsigmoid函数，该函数是神经网络中最常用的激活函数之一。该函数在线性和非线性之间展现出极好的平衡性，拥有平滑的上界域和下边界域。在迭代前期参数KKK能保持较大值，延长初期阶段的全局搜索能力和强度。伸缩的范围较大，保留个体的多样性。中期K值随着迭代次数的增加而减少，从而加快算法的收敛速度。在迭代后期的一段保持一个较小的权重，延长了迭代后期的局部搜索时间，更有利于进行局部搜索，更新后的全局阶段搜索过程用公式(7)表示。xit+1=wxit+(r2×g∗−xit)×f(7)\boldsymbol x_i^{t+1}=w\boldsymbol x_i^t+(\boldsymbol r^2×\boldsymbol g^*-\boldsymbol x_i^t)×f\tag{7}xit+1=wxit+(r2×g∗−xit)×f(7)其中，参数β\betaβ为影响程度因子。蝴蝶个体适应度接近当前最好的适应度时，其权重接近最小值，较小的权重有利于进行局部开发；反之当前个体的适应度与最好的适应度相差较大时，其权重接近最大值，保留当前个体的更多信息，下一次迭代保持较强的全局搜索能力。

二、MSBOA算法步骤

多策略改进蝴蝶优化算法(MSBOA)的基本流程如下：
Step 1：初始化。初始化算法参数，随机生成种群位置，计算适应度并择优保存。
Step 2：蝴蝶位置更新阶段。根据式(1)构建向量，并根据式(2)计算蝴蝶个体位置的余弦相似度，设置阈值CCC将相似度高于阈值的蝴蝶位置通过式(3)进行位置更新。
Step 3：计算当前个体适应度，并根据式(4)计算PPP值判断当前迭代当前个体是进行全局搜索还是局部搜索，并通过式(5)计算当前个体的自适应惯性权重，更新蝴蝶位置。
Step 4：计算位置更新后每只蝴蝶所在位置适应度，并且更新最优位置。
Step 5：重复Step 2、Step 3和Step 4的更新迭代过程，若达到设置收敛精度要求或规定的最大迭代次数，终止算法并输出最优解。

三、仿真实验与结果分析

1、与原算法对比

将MSBOA算法与基于余弦相似度位置更新策略的BOA1算法，结合动态调整概率策略的BOA2算法，增加自适应混合惯性权重的BOA3算法以及基本的BOA算法进行比较，验证不同改进策略的有效性。独立运行30次。以F1~F3为例。
下图为对函数F1的寻优对比曲线。
5种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F1
BOA：最大值: 1.4873e-11,最小值:1.1842e-11,平均值:1.3085e-11,标准差:7.8596e-13
BOA1：最大值: 1.2976e-12,最小值:4.8647e-14,平均值:2.5993e-13,标准差:2.4962e-13
BOA2：最大值: 1.4247e-11,最小值:1.1195e-11,平均值:1.2618e-11,标准差:8.3223e-13
BOA3：最大值: 5.7668e-131,最小值:0,平均值:1.9223e-132,标准差:1.0529e-131
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0

下图为对函数F2的寻优对比曲线。

5种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F2
BOA：最大值: 5.7262e-09,最小值:1.999e-09,平均值:4.5713e-09,标准差:1.2576e-09
BOA1：最大值: 1.2196e-09,最小值:1.0712e-10,平均值:3.6748e-10,标准差:2.2777e-10
BOA2：最大值: 8.7251e-09,最小值:5.2145e-09,平均值:6.5784e-09,标准差:8.9912e-10
BOA3：最大值: 8.1849e-282,最小值:0,平均值:2.7283e-283,标准差:0
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0

下图为对函数F3的寻优对比曲线。
5种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F3
BOA：最大值: 1.3987e-11,最小值:1.0692e-11,平均值:1.2555e-11,标准差:8.4149e-13
BOA1：最大值: 7.789e-12,最小值:2.1539e-12,平均值:5.4507e-12,标准差:1.8653e-12
BOA2：最大值: 1.3196e-11,最小值:8.5686e-12,平均值:1.0695e-11,标准差:1.1149e-12
BOA3：最大值: 1.6424e-56,最小值:0,平均值:5.4747e-58,标准差:2.9986e-57
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0

2、与已有文献算法对比

将MSBOA算法与向量粒子群算法(Phasor Particle Swarm Optimization,PPSO)[2]，改进的灰狼优化算法(An improved grey wolf optimization,IGWO)[3]，对数惯性权重和高斯差分变异策略的鲸群算法(Whale Optimization Algorithm based on Logarithmic inertia weight and Gaussian difference mutation,IGWOA)[4]以及优选策略的自适应蚁狮优化算法[5](Preferred Strategy Self-adaptive ALO,PSALO)，基于折射反向学习与自适应控制因子的改进樽海鞘群算法(Modified SSA Based on Refracted Oppositional Learning and Adaptive Control Factor,RCSSA)[6]。独立运算30次进行比较，验证改进算法的优越性。以F1~F3为例。
下图为对函数F1的寻优对比曲线。
6种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F1
PPSO：最大值: 0.1012,最小值:0.00010734,平均值:0.022354,标准差:0.024799
IGWO：最大值: 5.7749e-315,最小值:5.8029e-316,平均值:2.8935e-315,标准差:0
IGWOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
PSALO：最大值: 1.7605e-09,最小值:2.4675e-11,平均值:3.8461e-10,标准差:4.3313e-10
RCSSA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0

下图为对函数F2的寻优对比曲线。
6种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F2
PPSO：最大值: 2.3202,最小值:0.011792,平均值:0.66735,标准差:0.51065
IGWO：最大值: 3.5055e-158,最小值:9.976e-159,平均值:1.9556e-158,标准差:6.525e-159
IGWOA：最大值: 1.5589e-186,最小值:3.886e-198,平均值:6.6509e-188,标准差:0
PSALO：最大值: 2.4964e-05,最小值:2.4291e-06,平均值:7.7968e-06,标准差:5.0552e-06
RCSSA：最大值: 2.3135e-173,最小值:1.6686e-173,平均值:1.999e-173,标准差:0
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0

下图为对函数F3的寻优对比曲线。
6种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F3
PPSO：最大值: 1.2508,最小值:1.1228e-07,平均值:0.14186,标准差:0.26569
IGWO：最大值: 8.9925e-303,最小值:1.2995e-304,平均值:1.5428e-303,标准差:0
IGWOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
PSALO：最大值: 3.3382e-08,最小值:3.3207e-09,平均值:1.4187e-08,标准差:8.2333e-09
RCSSA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0

综上可知，对于以上基本测试函数，MSBOA都有较优的稳定性以及寻优能力，有效的解决BOA算法求解精度不高的问题。

四、参考文献

[1] 宋钰, 石立宝. 参数动态调整的自适应布谷鸟算法[J]. 计算机工程与应用, 2020, 56(23): 61-67.
[2] Ghasemi, M., Akbari, E., Rahimnejad, A. et al. Phasor particle swarm optimization: a simple and efficient variant of PSO[J]. Soft Computing, 2019, 23: 9701-9718.
[3] 龙文, 伍铁斌. 协调探索和开发能力的改进灰狼优化算法[J]. 控制与决策, 2017, 32(10): 1749-1757.
[4] 陈雷, 尹钧圣. 高斯差分变异和对数惯性权重优化的鲸群算法[J]. 计算机工程与应用, 2021, 57(2): 77-90.
[5] 刘景森, 霍宇, 李煜. 优选策略的自适应蚁狮优化算法[J]. 模式识别与人工智能, 2020, 33(2): 121-132.
[6] 范千, 陈振健, 夏樟华. 一种基于折射反向学习机制与自适应控制因子的改进樽海鞘群算法[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2020, 52(10): 183-191.
[7] 陈俊, 何庆. 基于余弦相似度的改进蝴蝶优化算法[J]. 计算机应用, 2021, 41(9): 2668-2677.

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