空间解析几何中那些图形和方程（大彻大悟版）
文章目录
- 前言
- 一、平面及其方程
- 平面的点法式方程
- 平面的一般方程
- 平面的截距式方程
- 两平面的夹角
- 点到平面的距离公式
- 二、空间直线及其方程
- 空间直线的一般方程
- 空间直线的对称式方程（点向式方程）
- 空间直线的参数方程
- 两直线的夹角
- 直线与平面的夹角
- 平面束方程
- 三、曲面及其方程
- 旋转曲面
- 旋转单叶双曲面
- 旋转双叶双曲面
- 旋转椭球面
- 柱面
- 抛物柱面
- 椭圆柱面
- 双曲柱面
- 二次曲面
- 椭圆锥面
- 椭球面
- 单叶双曲面
- 双叶双曲面
- 椭圆抛物面
- 双曲抛物面
- 四、空间曲线及其方程
- 空间曲线的一般方程
- 空间曲线的参数方程
- 空间曲线在坐标面上的投影
- 总结
前言
空间解析几何中有平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程，有时候就怀疑这个空间的真实性，高维空间中我们是怎样的存在，害，好像有点杞人忧天了，每天吃好、喝好、睡好、学习搞好就阿弥陀佛了，来进入正题吧。
一、平面及其方程
平面的点法式方程
已知平面上一点M0(x0,y0,z0)M_0\left( x_0,y_0,z_0 \right)M0(x0,y0,z0)和平面的一个法向量n⃗=(A,B,C)\vec{n}=\left( A,B,C \right)n=(A,B,C)
对于平面上任意一点
M(x,y,z)M\left( x,y,z \right) M(x,y,z)
三者满足
n⃗⋅M0M→=0\vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0M}=0 n⋅M0M=0
点法式方程为
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A\left( x-x_0 \right) +B\left( y-y_0 \right) +C\left( z-z_0 \right) =0 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
平面的一般方程
三元一次方程
Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0
其图形总是一个平面，称为平面的一般方程
该平面的法向量为
n⃗=(A,B,C)\vec{n}=\left( A,B,C \right) n=(A,B,C)
通过原点的平面方程：Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz=0
平行于xxx轴的平面方程：By+Cz+D=0By+Cz+D=0By+Cz+D=0
平行于yyy轴的平面方程：Ax+Cz+D=0Ax+Cz+D=0Ax+Cz+D=0
平行于zzz轴的平面方程：Ax+By+D=0Ax+By+D=0Ax+By+D=0
平行于xOyxOyxOy平面的平面方程：Cz+D=0Cz+D=0Cz+D=0
平行于yOzyOzyOz平面的平面方程：Ax+D=0Ax+D=0Ax+D=0
平行于xOzxOzxOz平面的平面方程：By+D=0By+D=0By+D=0
平面的截距式方程
一平面与xxx轴、yyy轴、zzz轴的交点依次为(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)\left( a,0,0 \right) \text{、}Q\left( 0,b,0 \right) \text{、}R\left( 0,0,c \right)(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)
且a≠0、b≠0、c≠0a\ne 0\text{、}b\ne 0\text{、}c\ne 0a=0、b=0、c=0
截距式方程为
xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 ax+by+cz=1
aaa、bbb、ccc依次称为平面在xxx轴、yyy轴和zzz轴上的截距
两平面的夹角
平面Π1\varPi _1Π1和平面Π2\varPi _2Π2的法向量分别为n1→=(A1,B1,C1)\overrightarrow{n_1}=\left( A_1,B_1,C_1 \right)n1=(A1,B1,C1)和n2→=(A2,B2,C2)\overrightarrow{n_2}=\left( A_2,B_2,C_2 \right)n2=(A2,B2,C2)，两平面的夹角为θ\thetaθ且0≤θ≤π20\le \theta \le \frac{\pi}{2}0≤θ≤2π
平面Π1\varPi _1Π1和平面Π2\varPi _2Π2夹角的余弦为
cosθ=∣A1A2+B1B2+C1C2∣A12+B12+C12A22+B22+C22\cos \theta =\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} cosθ=A12+B12+C12A22+B22+C22∣A1A2+B1B2+C1C2∣
点到平面的距离公式
已知点P0(x0,y0,z0)P_0\left( x_0,y_0,z_0 \right)P0(x0,y0,z0)和平面Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0
点到平面的距离
d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣
二、空间直线及其方程
空间直线的一般方程
两平面的交线即为一条空间直线
平面Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0\varPi _1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0
平面Π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\varPi _2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0Π2:A2x+B2y+C2z+D2=0
一般方程为
{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ \end{array} \right. {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
空间直线的对称式方程（点向式方程）
已知直线LLL上任意一点M(x,y,z)M\left( x,y,z \right)M(x,y,z)和点M0(x0,y0,z0)M_0\left( x_0,y_0,z_0 \right)M0(x0,y0,z0)
直线LLL的方向向量为s⃗=(m,n,p)\vec{s}=\left( m,n,p \right)s=(m,n,p)
则有MM0→=λs⃗\overrightarrow{MM_0}=\lambda \vec{s}MM0=λs
点向式方程为
x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} mx−x0=ny−y0=pz−z0
空间直线的参数方程
令点向式方程等于ttt，即
x−x0m=y−y0n=z−z0p=t\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t mx−x0=ny−y0=pz−z0=t
则参数方程为
{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt
两直线的夹角
直线L1L_{1}L1的方向向量为s1⃗=(m1,n1,p1)\vec{s_{1}}=(m_{1},n_{1},p_{1})s1=(m1,n1,p1)，直线L2L_{2}L2的方向向量为s2⃗=(m2,n2,p2)\vec{s_{2}}=(m_{2},n_{2},p_{2})s2=(m2,n2,p2)
两直线的夹角为φ\varphiφ并且0≤φ≤π20\le \varphi \le \frac{\pi}{2}0≤φ≤2π
两直线夹角的余弦为
cosφ=∣m1m2+n1n2+p1p2∣m12+n12+p12m22+n22+p22\cos \varphi =\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}} cosφ=m12+n12+p12m22+n22+p22∣m1m2+n1n2+p1p2∣
直线与平面的夹角
其中直线与平面的夹角范围为0≤φ<π20\le \varphi <\frac{\pi}{2}0≤φ<2π
直线的方向向量为s⃗=(m,n,p)\vec{s}=\left( m,n,p \right)s=(m,n,p)，平面的法向量为n⃗=(A,B,C)\vec{n}=\left( A,B,C \right)n=(A,B,C)
直线与平面夹角的正弦为
sinφ=∣Am+Bn+Cp∣A2+B2+C2m2+n2+p2\sin \varphi =\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}} sinφ=A2+B2+C2m2+n2+p2∣Am+Bn+Cp∣
平面束方程
设直线LLL由方程组
{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ \end{array} \right. {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0确定，其中A1、B1、C1和A2、B2、C2A_1\text{、}B_1\text{、}C_1\text{和}A_2\text{、}B_2\text{、}C_2A1、B1、C1和A2、B2、C2不成比例
通过直线LLL的所有平面的全体称为平面束
平面束方程为
A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda \left( A_2x+B_2y+C_2z+D_2 \right) =0 A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0
三、曲面及其方程
旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
譬如：曲线C:f(y,z)=0C:f\left( y,z \right) =0C:f(y,z)=0
其绕zzz轴旋转一周得到的的旋转曲面的方程为
f(±x2+y2,z)=0f\left( \pm \sqrt{x^2+y^2},z \right) =0 f(±x2+y2,z)=0
即在空间直角坐标系中绕zzz轴旋转，曲线方程中zzz坐标不变，yyy坐标变为±x2+y2\pm \sqrt{x^2+y^2}±x2+y2即可得到旋转曲面的方程。
图中的黑色实线分别表示xxx轴、yyy轴和zzz轴
旋转单叶双曲面
将xOzxOzxOz坐标面上的双曲线
x2a2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2−c2z2=1
绕zzz轴旋转一周得到
旋转单叶双曲面方程为
x2+y2a2−z2c2=1\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+y2−c2z2=1
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
旋转双叶双曲面
将xOzxOzxOz坐标面上的双曲线
x2a2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2−c2z2=1
绕xxx轴旋转一周得到
旋转双叶双曲面方程为
x2a2−y2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1 a2x2−c2y2+z2=1
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
旋转椭球面
方程
x2+y2a2+z2c2=1\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+y2+c2z2=1
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
柱面
直线LLL沿定曲线CCC平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线CCC叫做柱面的准线，动直线LLL叫做柱面的母线
也可以这样认为：在三维坐标系中某个二维坐标面内的曲线沿另一条坐标轴堆叠起来的图形叫做柱面，所以柱面方程中一定只有两个未知量。
只有两个未知量的平面方程所表示的图形也是柱面，譬如：x−z=0x-z=0x−z=0
抛物柱面
譬如：y=x2y=x^{2}y=x2
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
椭圆柱面
譬如
x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
双曲柱面
譬如
x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2−b2y2=1
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
二次曲面
三元二次方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面
以下二次曲面均可以通过xOyxOyxOy、yOzyOzyOz或xOzxOzxOz面内的曲线绕某条坐标轴旋转然后伸缩变换得到，称为伸缩变形方法； 还可以通过截痕法来了解曲面形状（自行翻阅书本）
椭圆锥面
方程
x2a2+y2b2=z2\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 a2x2+b2y2=z2
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
椭球面
方程
x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
单叶双曲面
方程
x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2−c2z2=1
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
双叶双曲面
方程
x2a2−y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2−b2y2−c2z2=1
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
椭圆抛物面
方程
x2a2+y2b2=z\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z a2x2+b2y2=z
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
双曲抛物面
方程
x2a2−y2b2=z\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z a2x2−b2y2=z
图形
三维视图三维视图三维视图
yOz视图yOz视图yOz视图
xOy视图xOy视图xOy视图
四、空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线
设F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0G(x,y,z)=0G(x,y,z)=0是两个曲面的方程
空间曲线的一般方程为
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\left\{ \begin{array}{l} F\left( x,y,z \right) =0\\ G\left( x,y,z \right) =0\\ \end{array} \right. {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
空间曲线的参数方程
将空间曲线CCC上动点坐标xxx、yyy和zzz表示为参数ttt的函数得到空间曲线的参数方程
{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\left\{ \begin{array}{l} x=x\left( t \right)\\ y=y\left( t \right)\\ z=z\left( t \right)\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)
譬如：{x2+y2+z2=9y=x\left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=9\\y=x\\\end{array} \right.{x2+y2+z2=9y=x的参数方程为{x=32cosθy=32cosθz=3sinθ(0≤θ≤2π)\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos \theta\\y=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos \theta\\ z=3\sin \theta\\ \end{array}\left( 0\le \theta \le 2\pi \right) \right.⎩⎨⎧x=23cosθy=23cosθz=3sinθ(0≤θ≤2π)
空间曲线在坐标面上的投影
以xOyxOyxOy坐标面为例
将空间曲线CCC的一般方程消去变量zzz后得到方程H(x,y)=0H(x,y)=0H(x,y)=0，该方程表示的是曲线CCC关于xOyxOyxOy面的投影柱面，而该投影柱面与xOyxOyxOy面的交线叫做空间曲线CCC在xOyxOyxOy面上的投影曲线，简称投影。
投影的方程为
{H(x,y)=0z=0\left\{ \begin{array}{l} H\left( x,y \right) =0\\ z=0\\ \end{array} \right. {H(x,y)=0z=0
其他坐标面与该坐标面的做法相同
总结
以上三维图形的绘制均是借助matlabmatlabmatlab软件实现的，相关代码请参考博客：空间中常见曲面图形的绘制(matlab)
文章中绘制的三维图形在这里可以找到
链接：https://pan.baidu.com/s/1-VgPeuLABTe91_LPlCG4eg
提取码：zjmd
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