高等数学-空间解析几何与向量代数

1，向量的概念

1.1 一般在数学上只研究与起点无关的向量（自由向量），即只考虑向量的大小和方向。
1.2 向量的大小叫做向量的模。
1.3 非零向量r⃗与三条坐标轴的夹角α,β,γ称为向量r⃗的方向角。非零向量\vec r与三条坐标轴的夹角\alpha,\beta,\gamma称为向量\vec r的方向角。非零向量r与三条坐标轴的夹角α,β,γ称为向量r的方向角。
1.4 cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ称为向量r⃗的方向余弦。\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma称为向量\vec r的方向余弦。cosα,cosβ,cosγ称为向量r的方向余弦。
以向量r⃗的方向余弦为坐标的向量就是与r⃗同方向的单位向量e⃗.以向量\vec r的方向余弦为坐标的向量就是与\vec r同方向的单位向量\vec e.以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e.

2，基本运算

2.1 数量积（结果为一个数值）
a⃗×b⃗=∣a⃗∣×∣b⃗∣×cos⁡θ\vec a \times\vec b=|\vec a|\times|\vec b|\times\cos\thetaa×b=∣a∣×∣b∣×cosθ
2.2 向量积（结果为一个向量）
a⃗×b⃗=c⃗，\vec a \times\vec b=\vec c，a×b=c，
其中c⃗的模为∣c⃗∣=∣a⃗∣×∣b⃗∣×sin⁡θ.\vec c的模为|\vec c|=|\vec a|\times|\vec b|\times\sin\theta.c的模为∣c∣=∣a∣×∣b∣×sinθ.
方向判断方法如下：

向量积与数量积不同点在于它不满足交换律：
a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec a \times\vec b=-\vec b \times\vec aa×b=−b×a.
（向量积除了不满足交换律，其它的性质和数量积一样，包括进行极限运算时。）
向量积可以写成行列式的形式：
a⃗=(ax,ay,az),b⃗=(bx,by,bz)\vec a=(a_x,a_y,a_z), \vec b=(b_x,b_y,b_z)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)，则

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗axayazbxbybz∣\vec a \times\vec b= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k \\ a_x&a_y&a_z \\ b_x&b_y&b_z \\ \end{vmatrix} a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣
2.3 混合积
先把向量a⃗和b⃗作向量积，再与向量c⃗作数量积。先把向量\vec a 和\vec b作向量积，再与向量\vec c作数量积。先把向量a和b作向量积，再与向量c作数量积。
[a⃗b⃗c⃗]=(a⃗×b⃗)c⃗=∣axayazbxbybzcxcycz∣[\vec a\vec b\vec c]=(\vec a \times\vec b) \vec c= \begin{vmatrix} a_x&a_y&a_z \\ b_x&b_y&b_z \\ c_x&c_y&c_z \\ \end{vmatrix} [abc]=(a×b)c=∣∣∣∣∣∣axbxcxaybycyazbzcz∣∣∣∣∣∣
混合积的几何意义：它是这样一个数，它的绝对值表示以向量a⃗,b⃗,c⃗为棱的平行六面体的体积。它是这样一个数，它的绝对值表示以向量\vec a,\vec b,\vec c为棱的平行六面体的体积。它是这样一个数，它的绝对值表示以向量a,b,c为棱的平行六面体的体积。

3，曲面及其方程

3.1 在空间解析几何中，任何曲面都可以看做点的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面S与三元方程:
F(x,y,z)=0有下述关系：
（1），曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）；
（2），不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）；
那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。

3.2 空间曲面的参数方程。
通常是含有两个参数的方程，形式如下：
{x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t).\begin{cases} x=x(s,t), \\ y=y(s,t), \\ z=z(s,t). \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t).

4，平面及其方程

4.1 点法式方程
已知平面的法向量n⃗=(A,B,C)和平面上一点M0(x0,y0,z0)，则平面的方程为已知平面的法向量\vec n=(A,B,C)和平面上一点M_0(x_0,y_0,z_0)，则平面的方程为已知平面的法向量n=(A,B,C)和平面上一点M0(x0,y0,z0)，则平面的方程为
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0。
4.2 一般方程
三元一次方程对应着一个平面：
Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0。

5，空间直线及其方程

5.1 一般方程
可以理解为两个平面相交得到的直线
{A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0. \\ \end{cases} {A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.
5.2 点向式方程（对称式方程）
已知直线的方向向量s⃗=(m,n,p)和平面上一点M0(x0,y0,z0)，则直线的方程为已知直线的方向向量\vec s=(m,n,p)和平面上一点M_0(x_0,y_0,z_0)，则直线的方程为已知直线的方向向量s=(m,n,p)和平面上一点M0(x0,y0,z0)，则直线的方程为
x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}mx−x0=ny−y0=pz−z0（如果两向量平行，那么它们的各个坐标之比相等）。
5.3 参数方程
如果令x−x0m=y−y0n=z−z0p=t\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=tmx−x0=ny−y0=pz−z0=t，则
{x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.\begin{cases} x=x_0+mt, \\ y=y_0+nt, \\ z=z_0+pt. \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.