【数学】通俗解释布丰投针实验过程、蒙特卡洛方法及python仿真代码

很郁闷为什么网上的布丰投针都写的这么复杂，而且很多都是复读机直接copy别人，其实这是个很精巧、有趣的实验，所以打算自己写一个布丰投针的介绍

故事背景

你在教室里写数学题，突然有个人，抱着一大盒针走过来，然后把针撒到地上，然后很淡定地点点头说，“嗯，我知道π等于多少了”。

是不是觉得很神奇？！这跟π什么关系？！！！

没错，这个人就是布丰。

实验过程

这个实验也很简单，两段距离为D的平行线、一根长为L的针（L≤D）

投针实验就是把这根针扔到两段平行线之间，然后统计针碰到平行线的次数，例如图中的两根针，红色针就是碰到，黑色针就是没碰到

哪这和π是怎么扯上关系的呢？是从”针碰到平行线“的数学定义中推导得到的。我们先想办法定义针的位置，取针的中点向最近的平行线做垂线，定义该垂线为XXX，该垂线与针的夹角为θθθ
因为针是在两段平行线之间，故
X∈[0,D/2]X\in[0, D/2]X∈[0,D/2]
同时因为总能找到一个小于90°的角，故
θ∈[0,π/2]θ\in[0, π/2]θ∈[0,π/2]

XXX与θθθ与平行线可以组成一个直角三角形，所以斜边的长度是X/cosθX/cosθX/cosθ

因此，只要
X/cosθ<L/2X/cosθ < L/2X/cosθ<L/2
即X<(L/2)∗cosθ即X < (L/2)*cosθ即X<(L/2)∗cosθ
的话（其实取≤也可以，影响不大），就说明针碰到了平行线，否则就说明没碰到，下图分别为”没碰到和“碰到”的情况

下面我们来表示出“针碰到平行线的概率”，即
P{X<L2cosθ}P\{X<\frac{L}{2}cosθ\}P{X<2Lcosθ}

求概率，本质就是比值，而因为XXX与θθθ是连续的，所以上面的比值可以等价于面积的比值

即，当XXX与θθθ在其取值范围内变化时，会生成无数个点。由上文可知X∈[0,D/2]X\in[0, D/2]X∈[0,D/2]、θ∈[0,π/2]θ\in[0, π/2]θ∈[0,π/2]，因此这些点的总面积为S=D2∗π2=D∗π4S = \frac{D}{2} * \frac{π}{2} = \frac{D*π}{4}S=2D∗2π=4D∗π （由XXX与θθθ的取值范围决定）

在这无数个点中，有一些点满足X<L2cosθX<\frac{L}{2}cosθX<2Lcosθ这一条件，这些点的面积记作S1S_1S1，所以

P{X<L2cosθ}=S1SP\{X<\frac{L}{2}cosθ\} = \frac{S1}{S}P{X<2Lcosθ}=SS1

那怎么把S1S_1S1表示出来呢？因为针的中心点和角度是没关系的，所以我们可以假设中XXX与θθθ是相互独立的，且他们在各自的取值范围内服从均匀分布，所以可以写成

剩下的就算微积分的事情了

所以可得
P{X<L2cosθ}=2∗Lπ∗DP\{X<\frac{L}{2}cosθ\} = \frac{2*L}{π*D}P{X<2Lcosθ}=π∗D2∗L

接下来，我们就可以反向思维，把πππ表示出来
π=2∗LP{X<L2cosθ}∗Dπ = \frac{2*L}{P\{X<\frac{L}{2}cosθ\}*D}π=P{X<2Lcosθ}∗D2∗L

所以，只要知道了LLL、DDD、P{X<L2cosθ}P\{X<\frac{L}{2}cosθ\}P{X<2Lcosθ}就可以算出πππ

那问题来了，P{X<L2cosθ}P\{X<\frac{L}{2}cosθ\}P{X<2Lcosθ}不是根据上面积分算出来的吗？你这样不就鸡生蛋蛋生鸡了？

其实P{X<L2cosθ}P\{X<\frac{L}{2}cosθ\}P{X<2Lcosθ}还可以通过做实验的途径得到，例如我投100次针，其中有50次针碰到了平行线，那么P{X<L2cosθ}=50100=0.5P\{X<\frac{L}{2}cosθ\}=\frac{50}{100}=0.5P{X<2Lcosθ}=10050=0.5

这样一来，πππ也就能求出来了

这种通过做实验来求积分的方法，就是大名鼎鼎的蒙特卡洛方法
（你也可以认为是暴力求解积分哈哈哈）

以上，就是布丰投针实验求πππ的过程

代码实验

import random
import numpy as np
from tqdm import tqdm# 平行线距离
D = 2
# 针的长度
L = 1
# 实验次数
exp_num = 100000000
# 触碰次数
touch_num = 0
for i in tqdm(range(1, exp_num+1)):X = random.uniform(0, D / 2)theta = random.uniform(0, np.pi / 2)if X < (L/2)*np.cos(theta):touch_num += 1
# 计算π
P = touch_num/exp_num
print('π = {}'.format((2*L)/(P*D)))

结果为：

π = 3.1412599467996216

大家可能会对theta = random.uniform(0, np.pi / 2)很疑问，我想求得是πππ，但是代码中就已经给定πππ（即np.pi），这不就犯规了吗？

其实不是，因为代码中我们要模拟现实的投针场景，所以theta = random.uniform(0, np.pi / 2)就是我们的现实，相当于是上帝提前设定好的，我们不知道的
我们的结果、我们想求的东西，就是希望去找到theta = random.uniform(0, np.pi / 2)中的πππ（即np.pi）是多少，它是我们的目标，我们希望结果尽可能的接近他

换句话说，如果我把theta = random.uniform(0, np.pi / 2)中的πππ（即np.pi）换成数字5的话（即改为theta = random.uniform(0, 5 / 2)）

我们输出的结果就会非常接近5，因为我们此时想要拟合的目标是5

运行下面的代码（只改了theta那一行），输出结果为：π = 5.00038202918703

import random
import numpy as np
from tqdm import tqdm# 平行线距离
D = 2
# 针的长度
L = 1
# 实验次数
exp_num = 100000000
# 触碰次数
touch_num = 0
for i in tqdm(range(1, exp_num+1)):X = random.uniform(0, D / 2)theta = random.uniform(0, 5 / 2)if X < (L/2)*np.cos(theta):touch_num += 1
# 计算π
P = touch_num/exp_num
print('π = {}'.format((2*L)/(P*D)))

πππ只是个外衣，不要被骗了哈哈哈

布丰投针给我们提供的是一种解决问题的思路，”通过数学推导与实验（蒙特卡洛方法）的配合，求出难以直接计算得到的值“，我认为这才是这个实验的巧妙之处~