本文是2014年的“ A Compressed Sensing Framework for Magnetic Resonance Fingerprinting“一文的阅读笔记。

摘要

该论文为定量磁共振指纹提出了一种压缩感知框架。磁共振指纹技术的三个关键部分是随机脉冲激发序列，随机平面回波（EPI）降采样策略，迭代投影算法。迭代投影算法利用了布洛赫方程的一致性。文中表明，理论上，只要激发序列能以一种合适的形式持续激发，我们就可以从有限数量的采样值中同时恢复质子密度，T1， T2和脱共振图谱。这些结果将进一步利用脑部头模的扩展仿真实验来支撑。
关键词

压缩感知，磁共振成像，布洛赫方程，流形，Johnson-Linderstrauss嵌入

介绍

磁共振成像原理

布洛赫方程

磁共振成像中的测量信号的主要源自质子自旋的磁化动量。在单位体积元素（体素）内净磁化矢量m=(mx,my,mz)T\boldsymbol{m} = (m^x, m^y, m^z)^T是单个体素范围内所有单个磁偶极子的合向量。如果没有磁场，均衡状态下净磁化矢量为零。

如果使用静磁场， B0\boldsymbol{B}_{0}(通常认为位于[0,0,1]T[0,0,1]^T方向)，沿着此磁场方向的自旋和平衡状态下的净磁化矢量， meq\boldsymbol{m}_{eq}, 正比于体素内的质子密度ρ\rho。然而，在使用磁场后不会立刻达到平衡状态，这一过程受纵向弛豫时间T1\boldsymbol{T}_{1}的控制, 以致在给定时刻t\mathbf{t}的净磁化矢量由mz(t)=meq(1−exp(−t/T1))m^z(t) = m_{eq}(1-exp(-t/T_1))式决定。

如果在正交于B0\boldsymbol{B}_0的平面内存在磁化矢量，那么这个磁化矢量{mx,my}\{m^x, m^y\}, 沿着z轴以拉莫尔频率进动，拉莫尔频率ωL=γ|B0|\omega_L = \gamma|\boldsymbol{B}_0|近似于42.6MHz/T, 其中γ\gamma称作旋磁比。这一过程轮流发射电磁信号，也就是观测到的信号。随着单个磁偶极子散相，净磁化矢量以速率T2T_2指数衰减，T2T_2称为横向弛豫时间。

磁共振成像中，磁体由静磁场和一个动力部分组成，动力部分由沿着x轴方向排列的射频（RF）线圈控制。当横向磁场通过射频脉冲产生时，质子的磁偶极子会绕这个横向磁场旋转。静磁场的整体宏观动力学表现可以通过一系列的线性微分方程来概括，称之为布洛赫方程

∂m(t)∂t=m(t)×γB(t)−⎛⎝⎜mx(t)/T2my(t)/T2(mz−meq/T1)⎞⎠⎟(2.1) \frac{\partial \boldsymbol{m}(t)}{\partial t} = \boldsymbol{m}(t) \times \gamma\boldsymbol{B}(t) - \left( \begin{matrix} m^x(t)/T_2 \\ m^y(t)/T_2 \\(m^z - m_{eq}/T_1)\end{matrix} \right) \tag{2.1}

初始射频脉冲激发的给定读出时间（回波时间，TE)的响应由上述方程式对时间积分得到。当使用一个特定脉冲序列（假设脉冲长度≪\ll T1T_1, T2T_2），那么缘于脉冲对脉冲，读出对读出的磁化矢量的动力学表现可以简单地用一个三维离散时间线性动力系统来描述E. T. Jaynes, Matrix treatment of nuclear induction, Phys. Rev., 98 (1955), pp. 1099–1105..

空间编码和图像信息

为了产生一幅图片，有必要对接收的信号进行空间编码，这一过程通过使用各种磁场梯度来实现。首先，层面可以通过一个沿着z轴方向的磁场梯度来选择，与此同时合理地限制激发脉冲的频带。梯度改变了拉莫尔频率，它是z的函数。只有被脉冲激发的那些位置才能在横向平面内产生磁化。

为了在采集时间（也称回波时间）内在空间上编码横向磁化，可以进一步修改磁场，让它有GxG_x和GyG_y两个梯度，分别沿着x轴方向和y轴方向。例如，如果沿着x轴施加一个线性梯度，也即Bz=(B0+Gxx)B^z = (B_0 + G_x x)，那么横向磁化的空间变化以拉莫尔频率编码，因此在接收信号的频率上（通常假设信号读出时间这一时段足够短以便让磁化可以视为是静态的）。接收信号因此对应于空间上横向磁化的傅里叶变换上的一条线，也就是k空间。精心地选取GxG_x和GyG_y，可以采样k空间上不同的线直到充分采样为止。最常用的技术是在笛卡尔网格上采样，选取测量值，表示为y\boldsymbol{y}以便图像可以通过逆二维傅里叶离散变换来形成。因此，我们可以产生一张离散的图像x\boldsymbol{x}（这里以向量的形式表示）通过x=FHy\boldsymbol{x} = F^{H}\boldsymbol{y}, 其中HH表示共轭转置。出于简洁考虑，除非另外声明，我们将利用这个离散表示，以及假设k空间上的采样点是从笛卡尔网格上选取的。

快速成像

磁共振中的关键挑战是在相当短的时间内采集信号。长采集时间成本高，不受病人欢迎，还会引入额外的并发症比如运动伪影。然而，至今的MRI程序需要重复使用脉冲激发和梯度来获取多行k空间线。除此之外，每次采集完后，必须预留充足时间，以便让磁化能达到再次平衡。

加速成像的一种的方法是每次采集从k空间获取更多的采样点。通过改变横向梯度GxG_x和GyG_y，它们是时间t的函数，有可能产生更加复杂的采样模式。例如，在平面回波成像中一个脉冲可以获取多条k空间线。另外一种策略是在k空间产生螺旋轨迹。然而，这两种方法都会导致都出时间变长，随着读出时间变化，伪影以横向磁化变化的形式被引入。除此之外，关于螺旋和其他的非笛卡尔轨迹，需要更加复杂的图像形成算法，例如网格化技术，它尝试逼近非归一化的傅里叶变换的伪逆矩阵。

第二种快速成像的方法是采样较少的采样点。因为压缩感知在MRI中的出现，这种降采样k空间的观点变得十分流行。压缩感知理论基于下面这一事实，获取的图像可以用一个低维模型来逼近，例如空间域和小波域的稀疏性。那么，在任何情况下，图像都可以使用适当的迭代重建算法从降采样k空间数据中恢复。

并行成像（多个接收线圈）技术[32],提供了另外一种方法来加速成像。这种技术是上述方法的典型补充，但是它需要额外的校准去估计线圈灵敏度图谱。为了讨论简单，我们在这里只是用单线圈方案，而把它作为并行成像可能的扩展部分，会在讨论部分涉及。

定量磁共振成像

不只是简单地形成图像，通过从一次单一激发测量横向磁化响应，定量成像的目标是提供额外的生理学信息，通过估算一个或多个物理参数的变化，这些参数是由布洛赫方程决定的，T1T_1,T2T_2, 脱共振，质子密度，甚至更一般地Bloch-Torey方程中的扩散率。这些参数可以帮助辨别不同组织类型并且在很多应用领域中提供有用的信息，比如扩散和灌注成像。

参数估计的标准方法是获取大量的图像序列，这样对每个体素，序列值既不取决于T1T_1又不取决于T2T_2,和某种讨厌的参数一样。例如最常用的方法是获取一系列的图像，它们位于不同的回波时间，源自一次初始脉冲激发。对于T1T_1估计,经典的反转恢复脉冲

磁共振指纹

脉冲激发和布洛赫响应流形

磁共振指纹成像和k空间采样

磁共振指纹匹配滤波重建

布洛赫响应流形采样

压缩定量成像

迭代投影重建

步距选择

降采样k空间策略

布洛赫响应模型扩展

实验

实验程序

重建算法

结果

激发序列长度函数性能

可视化对比

BLIP收敛速率

对序列长度降采样

使用复数密度模型

归一化采样和非归一化采样

结论和开放性问题

开放性问题

附录A

附录B

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