也谈压缩感知（compressive sensing）

2024-05-13 20:06:34

CS framework：三个核心公式

压缩感知框架所要解决的是信号采样问题，如一个 NN 维的信号 x∈RN×1\mathrm{x}\in \Re^{N\times 1}，与传统的信号采样的方法不同，我们不是对 x\mathrm{x} 直接进行 NN 次采样，而是对其进行 MM 次观测（已知 M<NM ）。这可表示为如下的欠定系统：

y=Φx

\textrm{y}=\Phi \textrm{x}
y∈RN×1\textrm{y}\in \Re^{N\times 1} 就是所谓的观测向量（measured vector）， Φ∈RM×N\Phi\in \Re^{M\times N}是随机观测矩阵（random measurement matrix）。

压缩感知的理论要求，在给定观测值 y\textrm{y} 和观测矩阵 Φ\Phi 的条件下，要想唯一地重建出原始信号 x\textrm x，x\textrm x 必须在某一给定的一组基 Ψ\Psi 下是稀疏的。这意味着：

x=Ψs

\textrm x=\Psi \textrm s
s\textrm s 就是所谓的 K−sparseK-sparse，也即 s\textrm s 中最多有 KK 个显著不为零的元素。基（basis） Ψ\Psi 可以是完备的（complete），也即 Ψ∈RN×N\Psi \in \Re^{N\times N}，也可以是超完备的（overcomplete），也即 Ψ∈RN×N1\Psi\in \Re^{N\times N_1}，其中 N<N1N。由以上两等式可得：

y=As

\textrm y=\textrm A\textrm s
其中 A=ΦΨ\textrm A=\Phi\Psi。

单观测向量（SMV） vs 多观测向量（MMVs）

因为只有一个观察向量 y\textrm y，以上问题又被称作单观测向量问题（SMV，Single Measurement Vector）在压缩感知的理论体系中。

有单观测向量问题，自然也就有多观测向量问题（MMVs，Multiple Measurement Vectors），其要解决的问题是，从 LL 个观察向量的集合 {yi}i=1,2,⋯,L\left \{\textrm y_i\right \}_{i=1,2,\cdots,L} 中重建 LL 个稀疏向量的集合 {si}i=1,2,⋯,L\left \{\textrm s_i\right \}_{i=1,2,\cdots,L}。

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