压缩感知的阶段性总结

由于传统的信号处理框架，对信号的采样必须满足奈奎斯特速率，随着数据量的增大，这种框架下的信号处理会极大的加大ADC的压力，同时大量的数据冗余会使数据存储代价增大。

为了弥补奈奎斯特框架的缺陷，各种其他方案出现，这就包括压缩感知框架下的信号处理方案。目前对压感的研究，信号的输入是离散的有限长的能稀疏表示的信号，或者信号本身就是稀疏的，这是在压感框架下处理信号的前提。

压感的三个关键问题：

一、信号的稀疏表示问题，这是压感的前提条件。

二、观测矩阵或者测量矩阵的设计问题，这是信号能否精确重构的关键，也是整个压感的成败的关键。

三、信号的重构问题，利用少量的观测值对输入信号进行重构，这是一个优化问题。对压感成败重要性不言而喻。

下面分别讨论这三个问题：

首先，信号的稀疏表示：

假设输入信号为，能在稀疏域下表示为：，其中，，称之为投影系数，即在域下的投影，是K稀疏的，即中有K个值不为0，其他值为0；或者中的系数按从小到大的顺序排列，按指数形式衰减，其中有K个大系数，其他均为小系数，则称为K稀疏的。

原则上任何离散信号都是可以进行稀疏表示的，关键的在于寻找稀疏矩阵，或者叫字典矩阵，目前关于稀疏矩阵的研究大多数是在正交基字典矩阵下的稀疏表示，例如傅里叶变换基；不过也有研究关于过完备字典下的稀疏基，具体的我还没有去深入了解。

解决了信号的稀疏表示问题，也就解决了压缩采样的前提问题。

其次，就是观测矩阵的设计，找到一个与信号的稀疏字典不相关的测量矩阵至关重要，测量矩阵关乎到观测向量y能否包含足够的信息来重构原始信号，这对测量矩阵提出的要求下面再具体叙述。

观测矩阵，这样通过下面的公式，观测得到的向量，其中，y中全是精华，包含了重构x所需要的全部信息，这样就实现了信号的压缩采样（，这就是压缩，取了N个样本点中的M个，这就是采样，也就是压缩采样）。

观测矩阵的M个行相当于M个传感器，对可压缩信号x（可稀疏表示的信号x）进行测量，这也许就是压缩传感或压缩感知名字的来历吧。

观测矩阵Ф的设计要满足以下条件，首先要满足RIP（有限等距性），有人研究表示，此条件的等价表示是观测矩阵与稀疏字典无关即可。除了上述条件外，在西电论文《压缩感知回顾与展望》中提到还需满足观测矩阵的任意2k列线性无关。说法很多，但都是一个意思。已有研究发现，有一些矩阵可以很好的满足这些条件。例如高斯随机矩阵，其他的记不得了。

最后，便是信号的重构问题，信号的重构问题内容很多，涉及的问题包括各种重构算法的创立以及一套评价重构算法效率的标准，国内外对此问题的研究也很多，在各种现存算法基础之上的改进也是一个创新的方向。（目前我只会正交匹配追踪OMP重构算法，具体参考我的其他博文。）

压缩感知存在的问题

理论上，任何离散信号都可以进行稀疏表示，关键在于稀疏基的研究，在哪个稀疏基下能够对信号进行稀疏表示，这是一个难点。

其次便是观测矩阵与稀疏字典矩阵相乘的硬件实现的难点。

压感的实际应用方面的研究。

最后的遗憾

压缩感知处理的是有限长的离散信号，而自然界大多数信号都是模拟信号，若是首先以奈奎斯特采样率对模拟信号进行采样得到离散信号，在对离散信号进行压缩感知。那么压感的优势何在？

于是，救星横空出世，无需进行上述过程，模拟信息转换器（AIC）直接对有限长模拟信号进行处理，得到M维的观测向量，之后在用重构算法进行重构。目前对于模拟信息转换器的研究还不够成熟，这是一个机遇。对模拟信息转换器（AIC）的硬件实现的研究还远远不够，国外对其的应用已经有了Rice大学的单反相机。

到此为止，下次理解更深刻了在继续总结。

（昨天晚上2点多闭上眼睛准备睡觉，可是满脑子都是压感，睡不着了，于是掏出手机记录下灵感，之前都是摘抄别人的论文才能完整的描述压感，终于能对压感的理解有了一个能提出问题的程度了。）

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