IT数学逻辑之正余弦定理指正弦定理和余弦定理

正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

正弦定理概述

正弦定理^[1] (Sine theorem)

(1)已知三角形的两角与一边，解三角形

(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。^[1]

证明

步骤1

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

图1正弦同理，在△ABC中，

步骤2.

证明

如图1，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度

因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C.

所以

类似可证其余两个等式。

余弦定理解三角形

余弦定理对解三角形是非常有用的：

这定理适用于任何三角形：

a、b 和 c 是三角形的边。

C 边 c 的对角

我们举个例来看看：

例子："c" 的长度是多少？

已知： C = 37º、a = 8 和 b = 11

余弦定理说：		c² = a² + b² − 2ab cos(C)

代入已知值：		c² = 8² + 11² − 2 × 8 × 11 × cos(37º)

计算：		c² = 64 + 121 − 176 × 0.798…

计算：		c² = 44.44...

开平方：		c = √44.44 = 6.67 保留两位小数

答案：c = 6.67

怎样记

怎样去记这公式呢？

公式其实是在勾股定理上多加一点，使其适用于所有的三角形：

勾股定理：	a² + b² = c²	(只适用于直角三角形)

余弦定理:	a² + b² − 2ab cos(C) = c²	(适用于所有三角形)

这样记：

想英语字母 "abc"：a² + b² = c²,
再来一个 "abc"： 2ab cos(C),
放在一起：a² + b² − 2ab cos(C) = c²

什么时候用

在以下的情形，我们可以用余弦定理：

已知三角形的两边和两边中间的夹角，求第三边(像上面的例子)
已知三角形的三边，求其角度(如以下的例子)

例子：角 "C" 是多大？

长度为 "8" 的边的对角是 C，所以这边是 c。另外两条边是 a 和 b。

把已知值代入余弦定理：:

开始：		c² = a² + b² − 2ab cos(C)

代入 a、b 和 c：		8² = 9² + 5²− 2 × 9 × 5 × cos(C)

Calculate:		64 = 81 + 25− 90 × cos(C)

重排及解:

每边减 25：		39 = 81− 90 × cos(C)
每边减 81：		−42 = −90 × cos(C)
两边对调：		−90 × cos(C) = −42
除以 −90：		cos(C) = 42/90
取逆余弦：		C = cos^-1(42/90)

用计算器：		C = 62.2° (保留一位小数)

其他形式

求角度的简易形式

上面我们看到已知三边是怎样去求角度。我们用了几步来做，但其实用 "直接" 公式会比较简单(公式只不过是重排这公式： c² = a² + b² − 2ab cos(C) )。公式可以有三个形式：

cos(C) = a² + b² − c²2ab

cos(A) = b² + c² − a²2bc

cos(B) = c² + a² − b²2ca

例子：用余弦定理(角度形式)来求角 "C"

已知三边：

a = 8,
b = 6 和
c = 7。

用余弦定理(角度形式)来求角 C：

cos C	= (a² + b² − c²)/2ab
	= (8² + 6² − 7²)/2×8×6
	= (64 + 36 − 49)/96
	= 51/96
	= 0.53125

C	= cos^-1(0.53125)
	= 57.9° 保留一位小数

a、b 和 c 的形式

你也可以重写 c² = a² + b² - 2ab cos(C) 公式为 "a²=" and "b²=" 的形式。

以下是这三个形式：

但最容易是记着 "c²=" 的形式，然后在应用时用不同的字母！

如下：

例子：求长度 "z"

字母不同！没关系。我们可以以 x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c

开始：		c² = a² + b² − 2ab cos(C)

x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c		z² = x² + y² − 2xy cos(Z)

代入已知值：		z² = 9.4² + 6.5² − 2×9.4×6.5×cos(131º)
计算：		z² = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...)
		z² = 130.61 + 80.17……
		z² = 210.78……
		z = √210.78…… = 14.5 保留一位小数。

答案：z = 14.5