原标题：浅谈数学趣题：三翁垂钓和五猴分桃

中国古代数学，体现出算法化的优秀数学思想，曾一度辉煌。回归一下中国古算中的名题趣事，有助于于了解历史文化，振奋民族精神，学习逻辑分析方法，发展空间想象能力。下面就先讲下中国古代数学趣题“三翁垂钓”，然后引申到另一个世界上广为流传的数学趣题“五猴分桃”。

三翁垂钓

三位渔翁早上外出钓鱼，他们把钓到的鱼都放入一个共用的鱼篓里。中午时分，三翁皆倦而盹。甲翁先醒，见另外二翁还在睡，就将鱼篓里的鱼平均分成了三份，多了一条，便放回河里。拿了一份(将另二份放入鱼篓中),先回家了。过了一会儿，乙翁醒了，不知道甲翁已经拿过鱼了，于是也将鱼篓里的鱼平均分成了三份，多了一条，也把它放回河里，拿了一份也就回家了。丙翁醒来时，他不知道甲翁和乙翁已经拿过鱼了，也将鱼平均分成三份，多了一条，放回河里，拿了一份也回家去了。问：三翁总共至少钓了多少条鱼，甲、乙、丙三翁各自拿了多少条鱼？

思路和解法：此题难在每次分鱼都多出1条鱼，实际上我们可以理解为少了2条鱼。不妨，先借给他们2条鱼再分。这时你会发现，多了2条鱼后，三翁每人分到的鱼增加了1条(等同于放回河里的鱼也给他们拿了)。这样，每次都刚好平均分成了3份，这样就容易算了。脑筋转得快的朋友，一下就发现，鱼增加了2条以后，能够被3的3次方整除，所以至少是27条。把借的2条鱼还了，可知三翁总共至少钓了25条鱼。这样就容易得出：甲翁拿了8条鱼，乙翁拿了5条鱼，丙翁拿了3条鱼。

细细地算，就是：

设三翁总共至少钓了x条鱼，借给他们2条，成为x+2条。

甲、乙、丙翁分别拿了a，b，c条鱼，则可得

a+1=(x+2)/3

b+1=2(x+2)/9

c+1=4(x+2)/27

c+1为整数，而4不能被27整除，所以(x+2)应是27的倍数，所以

(x+2)=27k(k取自然数)

当k=1时，x=25

最后得出a=8，b=5，c=3

这种解法，其实就是动力系统研究中常用的相似变换法，也是数学方法论研究中特别看重的“映射-反演”法。

五猴分桃

与“三翁垂钓”相似，有个“五猴分桃”的数学趣题在世上广为流传。据说，“五猴分桃”是由物理学家狄拉克提出的，很多人尝试着做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。著名物理学家、诺贝尔奖获得者李政道教授访问中国科学技术大学时，曾用此题考问中国科学技术大学少年班的学生，无人能答。

原题如下：

5只猴子一起摘了一堆桃子，因为太累了，于是它们商量决定，先睡一觉再分。不知过了多久，来了1只猴子，它见别的猴子没有来，便将这一堆桃子平均分成5份，结果多了1个，就将多的那个吃了，拿走其中的1份。过了一会，第二只猴子来了，它不知道有个同伴已经来过，以为自己是第一个到的，于是地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了1个，同样吃了多的那个，拿走了其中的1份。第三只、第四只、第五只猴子都是这样……问这5只猴子至少摘了多少个桃子？第5个猴子走后还剩多少个桃子？

你可以使用上面“三翁垂钓”的解题思路，得出：这5只猴子至少摘了3121个桃子。第五只猴子走后还剩下1020个。

下面给大家介绍另一种解法：

通过每只猴子拿走后剩下的桃子作为突破口

根据题意，假如多给4个桃子，则5只猴子每次都可以平均分且没有剩余。

设多个4个桃子后共有a个桃子

第一只猴子拿走桃子后剩下桃子个数为：a*4/5；

第二只猴子拿走桃子后剩下桃子个数为：a*4/5*4/5;

第三只猴子拿走桃子后剩下桃子个数为：a*4/5*4/5*4/5;

第四只猴子拿走桃子后剩下桃子个数为：a*4/5*4/5*4/5*4/5;

第五只猴子拿走桃子后剩下桃子个数为：a*4/5*4/5*4/5*4/5*4/5=1024a/3125;

因为1024a/3125一定是正整数，所以a必须是3125的倍数，a最少是3125。

减掉多给的4个桃子，就是这5只猴子至少摘的桃子总数，为3121个。

第五只猴子拿走还剩下1024-4=1020个。

总结：“三翁垂钓”和“五猴分桃”都是同一类题，可以利用高阶差分方程中通解和特解的关系，给出一个巧妙的解法。解题的思路很多，有更好方法的朋友，欢迎留言交流。返回搜狐，查看更多

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