采样频率、采样点数、频率分辨率

1.频率分辨率的2种解释
解释一：频率分辨率可以理解为在使用DFT时，在频率轴上的所能得到的最小频率间隔f0=fs/N=1/NTs=1/T,其中N为采样点数，fs为采样频率，Ts为采样间隔。所以NTs就是采样前模拟信号的时间长度T，所以信号长度越长，频率分辨率越好。是不是采样点数越多，频率分辨力提高了呢？其实不是的，因为一段数据拿来就确定了时间T，注意：f0=1/T，而T=NTs，增加N必然减小Ts ，因此，增加N时f0是不变的。只有增加点数的同时导致增加了数据长度T才能使分辨率越好。还有容易搞混的一点，我们在做DFT时，常常在有效数据后面补零达到对频谱做某种改善的目的，我们常常认为这是增加了N，从而使频率分辨率变好了，其实不是这样的，补零并没有增加有效数据的长度，仍然为T。但是补零其实有其他好处：1.使数据N为2的整次幂，便于使用FFT。2.补零后，其实是对DFT结果做了插值，克服“栅栏”效应，使谱外观平滑化；我把“栅栏”效应形象理解为，就像站在栅栏旁边透过栅栏看外面风景，肯定有被栅栏挡住比较多风景，此时就可能漏掉较大频域分量，但是补零以后，相当于你站远了，改变了栅栏密度，风景就看的越来越清楚了。3.由于对时域数据的截短必然造成频谱泄露，因此在频谱中可能出现难以辨认的谱峰，补零在一定程度上能消除这种现象。

那么选择DFT时N参数要注意：1.由采样定理：fs>=2fh，2.频率分辨率：f0=fs/N，所以一般情况给定了fh和f0时也就限制了N范围：N>=fs/f0。

解释二：频率分辨率也可以理解为某一个算法（比如功率谱估计方法）将原信号中的两个靠得很近的谱峰依然能保持分开的能力。这是用来比较和检验不同算法性能好坏的指标。在信号系统中我们知道，宽度为N的矩形脉冲，它的频域图形为sinc函数，两个一阶零点之间的宽度为4π/N。由于时域信号的截短相当于时域信号乘了一个矩形窗函数，那么该信号的频域就等同卷积了一个sinc函数，也就是频域受到sinc函数的调制了，根据卷积的性质，因此两个信号圆周频率之差W0必须大于4π/N。从这里可以知道，如果增加数据点数N，即增加数据长度，也可以使频率分辨率变好，这一点与第一种解释是一样的。同时，考虑到窗函数截短数据的影响存在，当然窗函数的特性也要考虑，在频率做卷积，如果窗函数的频谱是个冲击函数最好了，那不就是相当于没截断吗？可是那不可能的，我们考虑窗函数主要是以下几点：1.主瓣宽度B最小（相当于矩形窗时的4π/N，频域两个过零点间的宽度）。2.最大边瓣峰值A最小（这样旁瓣泄露小，一些高频分量损失少了）。3.边瓣谱峰渐近衰减速度D最大（同样是减少旁瓣泄露）。在此，总结几种很常用的窗函数的优缺点：

矩形窗：B=4π/N A=-13dB D=-6dB/oct
三角窗：B=8π/N A=-27dB D=-12dB/oct
汉宁窗：B=8π/N A=-32dB D=-18dB/oct
海明窗：B=8π/N A=-43dB D=-6dB/oct
布莱克曼窗：B=12π/N A=-58dB D=-18dB/oct

可以看出，矩形窗有最窄的主瓣，但是旁瓣泄露严重。汉宁窗和海明窗虽主瓣较宽，但是旁瓣泄露少，是常选用的窗函数。

采样周期与频率分辨率

fs/N

常称作为频率分辨率，它实际是作

FFT

时谱图中的两条相邻谱线之间的频率间隔，也有称作步

长。单位是

、

Khz

等。频率分辨率实际有二重含意，在这里只是其中一种。

2. 采样周期与频率分辨率
fs/N常称作为频率分辨率，它实际是作FFT时谱图中的两条相邻谱线之间的频率间隔，也有称作步长。单位是Hz、Khz等。频率分辨率实际有二重含意，在这里只是其中一种。

1/fs的单位的s、ms、us或分、时...年等。1/fs代表采样周期，是时间域上两个相邻离散数据之间的时间差。
因此fs/N用在频率域，只在DFT以后的谱图中使用；而1/fs用时间域，只要数据经采样，离散化后任何其它的应用中都可使用。例如有的数字滤波器中就用到。
Δf=fs/N=1/T;Δf是频率采样间隔，同时也是频率分辨率的重要指标，如果这个值越小，则频率分辨率越高。
1/fs往往用在求时间序列上，如（0：N-1）*1/fs等等，如果这个不好理解，可以把前面的公式求倒数，这就清楚多了。

3. 采样定理

采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

时域采样定理频带为F的连续信号 f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。

时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。图为模拟信号和采样样本的示意图。
时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。
频域采样定理对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T 时,f(t)=0,这里T =T2-T1是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的采样值来表示,只要这
些采样点的频率间隔。
参考书目
刘文生、李锦林编：《取样技术原理与应用》，科学出版社，北京，1981。

4. 分析频率/采样点数/谱线数的设置要点
1．最高分析频率：Fm指需要分析的最高频率，也是经过抗混滤波后的信号最高频率。根据采样定理，Fm与采样频率Fs之间的关系一般为：Fs=2.56Fm；而最高分析频率的选取决定于设备转速和预期所要判定的故障性质。

2．采样点数N与谱线数M有如下的关系：
N=2.56M 其中谱线数M与频率分辨率ΔF及最高分析频率Fm有如下的关系：ΔF=Fm/M 即：M=Fm/ΔF 所以：N=2.56Fm/ΔF
★采样点数的多少与要求多大的频率分辨率有关。例如：机器转速3000r/min=50Hz，如果要分析的故障频率估计在8倍频以下，要求谱图上频率分辨率ΔF=1 Hz ,则采样频率和采样点数设置为：
最高分析频率Fm=8·50Hz=400Hz;
采样频率Fs=2.56·Fm=2.56 ·400Hz=1024Hz;
采样点数N=2.56·（Fm/ΔF）=2.56·（400Hz/1Hz）=1024

谱线数M=N/2.56=1024/2.56=400条

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5,采样长度T是指能够分析到信号中的最低频率所需要的时间纪录长度。如果信号中含有最低频率为fl，采样后要保持该频率成分，则采样长度应为：　 T>fl/2 （2）
因此，采样长度不能取得太短，否则进行频率分析时，在频率轴上的频率间隔Δf(Δf=1/T)太大，频率分辨率太低，一些低频成分就分析不出来。
另外，采样长度T与采样点数N,采样时间间隔Δt成正比，
即： T=NΔt＝N/f （3）
如果采样长度T取得较长，虽然频率分辨率得到了提高，但在△t不变的情况下，采样点数N增多，使计算机的工作量增大；当N不变时，则采样的时间间隔Δt增大，采样频率降低，所能分析的最高频率fmax也随之降低，因此需要综合考虑采样长度、采样点数和采样频率的关系问题。

在一般信号分析仪中，采样点数是固定的，取为 N＝256,512，1024,2048 点几个档次，各档分析频率范围f取决于采样频率的高低，
即：         fc＝fs/2.56＝1/(2.56Δt)     (4)
则在频率轴上的频率间隔为：    Δf＝1/T=1／(NΔt)＝2.56 fc/N      ＝（1/100，1/200，1/400，1/800）fc     （5）
频谱图上的线条数为：    n＝fc /Δf=N/2.56＝100，200，400，800   （6）
对于一台具体的分析仪器，当采样点数N(或谱线条数n)固定后，它的频率分析范围取决于采样间隔Δt(或采样频率fs)；最低分析频率取决于采样长度T(或频率分辨率)。例如，某台分析仪器的采样点数为N＝1024，采样时间间隔Δt＝0.4ms，采样长度为T＝0.4s（实际为0.4096），
则可分析的频率范围为fc＝1/(2.56Δt)＝（2.56 ×0.4×l0-3）-1≈1 kHz；
最低的分析频率为f1＝1/(2.56Δt)＝（2.56 ×0.4S）-1≈1 Hz；
在频率轴上的频率间隔为Δf＝1/(NΔt)＝（1024×0.4×l0-3）-1＝2.44Hz。

△f＝Fm/M,可见谱线数M越大频率分辩率△f越小即频率分辩率越高。

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