[动态规划] 区间DP
区间DP
石子合并问题
题目链接
https://www.acwing.com/problem/content/description/284/
状态表示和状态转移
f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 表示合并区间 [ i , j ] [i, j] [i,j] 所有方案中花费代价的最小值
f [ i ] [ j ] = m i n { f [ i ] [ k ] + f [ k + 1 ] [ j ] + s [ j ] − s [ i − 1 ] } ( k = i , . . . , j − 1 ) f[i][j] = min\{f[i][k] + f[k+1][j] + s[j] - s[i-1]\} (k=i, ..., j-1) f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]−s[i−1]}(k=i,...,j−1)
a n s w e r = f [ 1 ] [ n ] answer = f[1][n] answer=f[1][n]
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;/*f[i][j] 表示合并区间 [i, j] 所有方案中花费代价的最小值f[i][j] = min{f[i][k] + f[k+1][j] + s[j] - s[i-1]} (k=i, ..., j-1)answer = f[1][n]
*/const int N = 310;
int f[N][N];
int s[N];
int n;int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i ++) {scanf("%d", &s[i]);s[i] += s[i-1];}memset(f, 0x3f, sizeof f);for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][i] = 0;for (int len = 2; len <= n; len ++) {for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++) {int j = i + len - 1;for (int k = i; k < j; k ++) {f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + s[j] - s[i - 1]);}}}printf("%d\n", f[1][n]);return 0;
}
环形石子合并
题目链接
https://www.acwing.com/problem/content/description/1070/
状态表示和状态转移
思路整体和上题类似
不同之处在于环形的处理上，采用复制法获得环形效果，减小时间复杂度
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 410, INF = 0x3f3f3f3f;
int s[N], a[N];
int f[N][N], g[N][N];
int n;inline int read(){int num = 0;char c;bool flag = false;while ((c = getchar()) == ' ' || c == '\n' || c == '\r');if (c == '-') flag = true;else num = c - '0';while (isdigit(c = getchar()))num = num * 10 + c - '0';return (flag ? -1 : 1) * num;
}int main() {n = read();for (int i = 1; i <= n; i ++) {s[i+n] = s[i] = read();}memset(f, 0x3f, sizeof f);memset(g, -0x3f, sizeof g);for (int i = 1; i <= 2*n; i ++) s[i] += s[i-1];for (int i = 0; i <= 2*n; i ++) {f[i][i] = g[i][i] = 0;}for (int len = 2; len <= n; len ++) {for (int i = 1; i + len - 1 <= 2*n; i ++) {int j = i + len - 1;for (int k = i; k < j; k ++) {f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + s[j] - s[i-1]);g[i][j] = max(g[i][j], g[i][k] + g[k+1][j] + s[j] - s[i-1]);}}}int maxv = -INF, minv = INF;for (int i = 1; i <= n; i ++) {maxv = max(maxv, g[i][i+n-1]);minv = min(minv, f[i][i+n-1]);}printf("%d\n%d\n", minv, maxv);return 0;
}
凸多边形的划分
题目链接
https://www.acwing.com/problem/content/1071/
状态表示和状态转移
f[i][j] = min{f[i][k] + f[k][j] + a[i] * a[k] * a[j]} (k = i+1, ..., j-1)
answer = f[1][n]
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 55, M = 40, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, a[N];
int f[N][N][M];
inline int read(){int num = 0;char c;bool flag = false;while ((c = getchar()) == ' ' || c == '\n' || c == '\r');if (c == '-') flag = true;else num = c - '0';while (isdigit(c = getchar()))num = num * 10 + c - '0';return (flag ? -1 : 1) * num;
}void add(int a[], int b[]) {static int res[M];memset(res, 0, sizeof res);int t = 0;for (int i = 0; i < M; i ++) {t += a[i] + b[i];res[i] = t % 10;t /= 10;}memcpy(a, res, sizeof res);
}void mul(int a[], int b) {static int res[M];memset(res, 0, sizeof res);ll t = 0;for (int i = 0; i < M; i ++) {t += (ll)a[i] * b;res[i] = t % 10;t /= 10;// cout << t << endl;}// for (int i = 0; i < M; i ++) cout << res[i];// cout << endl;memcpy(a, res, sizeof res);// puts("");
}int cmp(int a[], int b[]) {for (int i = M-1; i >= 0; i --) {if (a[i] > b[i]) return 1;else if (a[i] < b[i]) return -1;}return 0;
}void print(int a[]) {int k = M-1;while(k && !a[k]) k --;while(k >= 0) printf("%d", a[k--]);puts("");
}int main(int argc, char const *argv[])
{n = read();for (int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = read();int tmp[M];for (int len = 3; len <= n; len ++) {for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++) {int j = i + len - 1;f[i][j][M-1] = 1;for (int k = i+1; k < j; k ++) {memset(tmp, 0, sizeof tmp);tmp[0] = 1;mul(tmp, a[i]);mul(tmp, a[k]);mul(tmp, a[j]);add(tmp, f[i][k]);add(tmp, f[k][j]);if (cmp(f[i][j], tmp) > 0) memcpy(f[i][j], tmp, sizeof tmp);}}}print(f[1][n]);return 0;
}
注意点
在计算高精度函数内，需要执行memcpy进行数组拷贝操作，第三个参数设置时需要注意
不能是 sizeof a, 应该是sizeof res
因为 a 作为参数是指针类型，大小为8个字节，在拷贝时，只会拷贝前两个数
加分二叉树
题目链接
https://www.acwing.com/problem/content/481/
思路
对区间[l, r]按照根的位置进行划分得到状态转移方程如下:
f[l][r] = max{f[l][k-1] * f[k+1][r] + a[k]} (k = l, l+1, ..., r)
端点处需特殊处理
C++代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 40;int f[N][N], g[N][N]; //g[i][j] 记录区间[i, j]中的根结点
inline int read(){int num = 0;char c;bool flag = false;while ((c = getchar()) == ' ' || c == '\n' || c == '\r');if (c == '-') flag = true;else num = c - '0';while (isdigit(c = getchar()))num = num * 10 + c - '0';return (flag ? -1 : 1) * num;
}
int n, a[N];void dfs(int l, int r) {if (l > r) return;int root = g[l][r];printf("%d ", root);dfs(l, root-1);dfs(root+1, r);
}int main()
{n = read();for (int i = 1; i <= n; i ++) f[i][i] = a[i] = read(), g[i][i] = i;for (int len = 2; len <= n; len ++) {for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++) {int j = i + len - 1;for (int k = i; k <= j; k ++) {int left = i == k ? 1 : f[i][k-1];int right = j == k ? 1 : f[k+1][j];if (f[i][j] < left * right + a[k]) {f[i][j] = left * right + a[k];g[i][j] = k;}}}}printf("%d\n", f[1][n]);dfs(1, n);return 0;
}
棋盘分割
题目链接
https://www.acwing.com/problem/content/description/323/
思路
题意+分析
将棋盘切 n − 1 n-1 n−1 刀，得到 n n n 块小区域，使得 n n n 块区域权重之和的均方差最小，由于n固定，均方差和方差的单调性相同，在分析时只考虑方差能简化运算，最后求和之后再算均值开方即得到答案
切分之后，左右或上下两部分是独立的，可以分别考虑。另外注意，切分后保留的一部分继续切分，而舍弃的一部分直接计算
分割方案
状态表示
f[k][x1][y1][x2][y2] 表示进行第k-1次划分时, 选择对角坐标为[(x1, y1), (x2, y2)]的矩形的各部分与均值差值的平方之和最小值
状态计算
对于每一层状态，考虑上述四种分割分割方案，保留差值平方之和最小值
C++ 代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>using namespace std;const int N = 16;double f[N][N][N][N][N];
int s[N][N];
int n, m = 8;
double X;inline int read(){int num = 0;char c;bool flag = false;while ((c = getchar()) == ' ' || c == '\n' || c == '\r');if (c == '-') flag = true;else num = c - '0';while (isdigit(c = getchar()))num = num * 10 + c - '0';return (flag ? -1 : 1) * num;
}double get(int x1, int y1, int x2, int y2) {double x = s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1] - X;return x * x;
}double dp(int k, int x1, int y1, int x2, int y2) { // 求 (xi - X)^2double &v = f[k][x1][y1][x2][y2];if (v >= 0) return v;if (k == n) return v = get(x1, y1, x2, y2);double t = 1e9;for (int i = y1; i < y2; i ++) {t = min(t, dp(k+1, x1, y1, x2, i) + get(x1, i+1, x2, y2));t = min(t, dp(k+1, x1, i+1, x2, y2) + get(x1, y1, x2, i));}for (int i = x1; i < x2; i ++) {t = min(t, dp(k+1, x1, y1, i, y2) + get(i+1, y1, x2, y2));t = min(t, dp(k+1, i+1, y1, x2, y2) + get(x1, y1, i, y2));}return v = t;
}int main() {memset(f, -1, sizeof f);n = read();for (int i = 1; i <= m; i ++) {for (int j = 1; j <= m; j ++) {s[i][j] = read() + s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];}}X = (double)s[m][m] / n; printf("%.3lf\n", sqrt(dp(1, 1, 1, m, m) / n));return 0;
}
注意点
double memset 为-1代表负无穷
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