二分查找算法

复杂度log⁡2N\log_2Nlog2N
二分查找的前提是待查找的序列必须是有序的。另外一点，C++中的序列都是前闭后开的。如果使用STL，默认是递增顺序，递减的顺序需要自定义比较函数。二分查找可以自己实现或者使用STL的std::binary_search()实现，后者只能给出需要查找的元素是否在某序列中，返回bool值。然而，当我们需要知道元素的具体位置时，需要自己写一个二分查找算法。一下给出了两种方式，注意自定义函数的区间调整。

如果一个容器是有序的，而且元素可以使用==运算符进行比较，那么完全可以使用库函数lower_bound()执行二分查找，函数返回第一个大于等于目标元素的位置，如果所有元素都小于目标元素的迭代器，则返回尾后替代器；同时注意upper_bound()函数，该函数也是执行二分查找，不过是返回第一个大于目标元素的迭代器。利用upper_bound和lower_bound之差可以记录相等元素的个数。。

不过，我们要自己掌握这种算法，自己写这种算法时，与STL的区别在于右侧也是闭区间，这样比较好记，而且容易寻找下标的规律。算法终止条件的核心是下界大于上界。下面给出代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;template<typename T>
int BinSearch(vector<T>vec, T key) {if(vec.empty()) {return -1;}int low = 0, high = vec.size() - 1;while(low <= high) {int mid = low + (high - low) / 2;if(vec[mid] == key) {return mid;} else if(vec[mid] > key) {high = mid - 1;} else {low = mid + 1;}}return -1;
}int main() {return 0;
}

二分查找下标的规律总结：

如果可以找到目标，分为两种情况，这两种情况对于子区间同样适用：
- 区间的两侧是目标：low=high=midlow=high=midlow=high=mid
- 恰好是mid=low+(low+high)/2mid=low+(low+high)/2mid=low+(low+high)/2，此时三者都不变
如果找不到目标，则low=high+1low=high+1low=high+1，此时的 midmidmid等于lowlowlow或者highhighhigh，由具体的运算情景决定
如果high=low+1high=low+1high=low+1时，在这里先不论是否有目标值，此时一定有：mid=lowmid=lowmid=low。假设我们此时还没找到元素，那么如果目标值小于midmidmid指示值，则highhighhigh移动向lowlowlow；否则lowlowlow移动向highhighhigh；最终mid=high=lowmid=high=lowmid=high=low。

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