偏微分方程I PDE的例子1 一维波动与热传导方程

一些著名的偏微分方程(partial differential equations, PDE)的例子：

波动方程（一维的wave equation是d‘Alembert、Bernoulli导出的，Euler导出了二维的wave equation）
热传导方程（Fourier导出）
Navier-Stokes方程（流体力学）
Maxwell方程（电磁理论）
Boltzmann方程（统计力学）
Schroedinger方程（量子力学）
Black-Scholes方程（期权定价）

例1 一维波动方程
考虑一根被固定在x=0x=0x=0与x=Lx=Lx=L处的弦的波动，u(x,t)u(x,t)u(x,t)是ttt时刻xxx位置的挠度，我们考虑xxx与x+Δxx+\Delta xx+Δx这两个位置，假设ttt时刻它们的张力大小为TTT，与水平方向的夹角分别为ψ,ψ+Δψ\psi,\psi+\Delta \psiψ,ψ+Δψ，考虑这一段微元，张力在竖直方向的合力为
T[sin⁡(ψ+Δψ)−sin⁡(ψ)]≈T[tan⁡(ψ+Δψ)−tan⁡(ψ)]=T[∂u(x+Δx,t)∂x−∂u(x,t)∂x]=T∂2u(x+ξΔx,t)∂x2Δx,∃ξ∈(0,1)T[\sin (\psi+\Delta \psi)-\sin(\psi)]\approx T[\tan (\psi+\Delta \psi)-\tan(\psi)] \\ = T[\frac{\partial u(x+\Delta x,t)}{\partial x}-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}]=T\frac{\partial^2 u(x+\xi \Delta x,t)}{\partial x^2}\Delta x,\exists \xi \in (0,1)T[sin(ψ+Δψ)−sin(ψ)]≈T[tan(ψ+Δψ)−tan(ψ)]=T[∂x∂u(x+Δx,t)−∂x∂u(x,t)]=T∂x2∂2u(x+ξΔx,t)Δx,∃ξ∈(0,1)

最后一步用的Lagrange中值定理。根据牛顿第二定律，
TuxxΔx=ρΔxutt,Tρuxx=uttTu_{xx}\Delta x=\rho \Delta x u_{tt} ,\frac{T}{\rho} u_{xx}=u_{tt}TuxxΔx=ρΔxutt,ρTuxx=utt

这里的ρ\rhoρ是线密度。我们称这样的方程是homogeneous 1-D wave equation（齐次一维波动方程），它的一般形式为
uxx=c2uttu_{xx}=c^2 u_{tt}uxx=c2utt

这里的ccc的量纲是速度，
[c2]=[T][ρ]=ML/T2M/L=L2T2,[c]=LT[c^2]=\frac{[T]}{[\rho]}=\frac{ML/T^2}{M/L}=\frac{L^2}{T^2},[c]=\frac{L}{T}[c2]=[ρ][T]=M/LML/T2=T2L2,[c]=TL

它实际弦在波动时的波的传播速度。

假设弦在竖直方向受载荷F(x,t)F(x,t)F(x,t)的作用，则
TuxxΔx+F(x,t)Δx=ρΔxuttutt=c2uxx+FρTu_{xx}\Delta x+F(x,t)\Delta x=\rho \Delta x u_{tt} \\ u_{tt}=c^2u_{xx}+\frac{F}{\rho}TuxxΔx+F(x,t)Δx=ρΔxuttutt=c2uxx+ρF我们称这样的方程是inhomogeneous 1-D wave equation（非齐次一维波动方程），它的一般形式为
uxx=c2utt+fu_{xx}=c^2 u_{tt}+fuxx=c2utt+f

评注
引入d’Alembert算子，
□c=∂2∂t2−c2Δ\Box_c=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \Delta□c=∂t2∂2−c2Δ

这里的Δ=∇⋅∇\Delta=\nabla \cdot \nablaΔ=∇⋅∇，是Laplace算子，则homogeneous 1-D wave equation可以表示为
□cu=0\Box_cu=0□cu=0

inhomogeneous 1-D wave equation可以表示为
□cu=f\Box_cu=f□cu=f

例2 Helmholtz方程(声波、光的散射等)
假设
f(x,t)=f0(x)eiwt,u(x,t)=u0eiwtf(x,t)=f_0(x)e^{iwt},u(x,t)=u_0e^{iwt}f(x,t)=f0(x)eiwt,u(x,t)=u0eiwt

代入inhomogeneous 1-D wave equation，
Δu0+K2u0=−f0c2,K2=w2c2\Delta u_0+K^2u_0=-\frac{f_0}{c^2},K^2=\frac{w^2}{c^2}Δu0+K2u0=−c2f0,K2=c2w2

这就是Helmholtz方程；计算
□cu=∂2u∂t2−c2Δu=−u0w2eiwt−c2Δu0eiwt=f0eiwt\Box_cu=\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-c^2 \Delta u =-u_0w^2e^{iwt}-c^2\Delta u_0 e^{iwt}=f_0e^{iwt}□cu=∂t2∂2u−c2Δu=−u0w2eiwt−c2Δu0eiwt=f0eiwt

约掉eiwte^{iwt}eiwt就可以得到Helmholtz方程。

这里的www是频率，因此KKK的含义是波数(wave number)，
[K2]=[w2][c2]=1/T2L2/T2=1L2,[K]=1[L][K^2]=\frac{[w^2]}{[c^2]}=\frac{1/T^2}{L^2/T^2}=\frac{1}{L^2},[K]=\frac{1}{[L]}[K2]=[c2][w2]=L2/T21/T2=L21,[K]=[L]1

例3 一维热传导方程
考虑一根放在xxx轴上的很细的均匀实心金属管，考虑xxx到x+dxx+d xx+dx这一段微元，AAA是截面积，LLL是金属管长度，用u(x,t)u(x,t)u(x,t)表示温度场，ρ(x,t)\rho(x,t)ρ(x,t)表示密度，ccc表示比热容。这一段微元的元质量为ρAdx\rho A dxρAdx，元热量为cu(x,t)ρAdxcu(x,t)\rho A dxcu(x,t)ρAdx。在x∈(a,b)x \in (a,b)x∈(a,b)上，热量为
Q=∫abcu(x,t)ρAdxQ = \int_a^bcu(x,t)\rho A dxQ=∫abcu(x,t)ρAdx

根据Fourier定律，heat flux与温度场的负梯度成正比，用kkk表示热传导系数，则
F(x,t)=−k∂u(x,t)∂xF(x,t)=-k\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}F(x,t)=−k∂x∂u(x,t)

于是通过(a,b)(a,b)(a,b)的heat flux为
A[k∂u(b,t)∂x−k∂u(a,t)∂x]=∫abA∂∂x(k∂u(x,t)∂x)dxA[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}]=\int_a^b A\frac{\partial }{\partial x}(k\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})dxA[k∂x∂u(b,t)−k∂x∂u(a,t)]=∫abA∂x∂(k∂x∂u(x,t))dx

假设无热源，根据能量守恒
dQdt=A[k∂u(b,t)∂x−k∂u(a,t)∂x]cρut=Kuxx,K=kcρ\frac{dQ}{dt}=A[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}] \\ c\rho u_t=Ku_{xx},K=\frac{k}{c \rho}dtdQ=A[k∂x∂u(b,t)−k∂x∂u(a,t)]cρut=Kuxx,K=cρk

假设存在热源q1(x,t)q_1(x,t)q1(x,t)，则根据能量守恒定律，
dQdt=A[k∂u(b,t)∂x−k∂u(a,t)∂x]+∫abq1(x,t)dxut=Kuxx+q,K=kcρ,q=q1cρ\frac{dQ}{dt}=A[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}]+\int_a^b q_1(x,t)dx \\ u_t=Ku_{xx}+q,K=\frac{k}{c \rho},q=\frac{q_1}{c\rho}dtdQ=A[k∂x∂u(b,t)−k∂x∂u(a,t)]+∫abq1(x,t)dxut=Kuxx+q,K=cρk,q=cρq1

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