HDU - 4348 To the moon(主席树区间更新-标记永久化)

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题目大意：给出一个初始时长度为 n 的序列，有 m 次操作，每种操作分为下列四种类型：

C l r d：新建一个继承了前一个版本的数组，并将区间 [ l , r ] 内的数字都加上 d
Q l r：访问最后一个版本的数组，[ l , r ] 内的区间和
H l r t：访问第 t 个版本的数组，[ l , r ] 内的区间和
B t：回溯到第 t 个版本

题目分析：如果不考虑变量 t ，也就是不同版本的数组所带来的影响，那么这就是线段树的一道经典区间修改和区间查询的题目，写一个 lazy 下传标记即可

考虑有多个不同版本的数组，也就对应了主席树，换句话说这个题目考察的正是主席树的区间修改和区间查询

主席树的单点修改比较简单，每次只会涉及到一条链，即 logn 条节点，直接新建，其余的节点继承上一个位置的即可

区间修改的话如果考虑 lazy 变量的下传，最坏的情况下需要从根节点下传到叶子节点，一次操作的时空复杂度都是 nlogn 级别的

那可能有的同学会说了：我就先存一下 lazy 标记，等查询的时候再下传不就行了？

很遗憾的说，这样的时间复杂度单次操作也将会是 nlogn 级别的，因为不同版本的线段树可能 lazy 标记不同，导致 nlogn 个节点的值最终都不相同，所以都需要新建才行

所以这里需要引入一个新的概念，也就是线段树的标记永久化

对于普通线段树的 lazy 标记下传操作，也就是 pushdown 函数，对应过去就是：线段树中每个节点的值都是真实的值

但标记永久化顾名思义，也就是 lazy 标记不下传，这样线段树中的每个节点对应的值此时并不是真实的值，但在执行 query 操作时，一定会从其父节点下来，此时额外维护一个变量，用于记录沿途路径上的 lazy 的贡献，最后统一计算一样可以得到真实答案

但在执行标记永久化时需要注意的细节就是，不能使用 pushup 函数自底向上去传递贡献，只能自顶向下去维护每个节点的贡献，到达需要返回的位置时，打一个 lazy 标记直接返回即可，这样的操作带来的影响是：相应的区间上面的父节点中储存的是真实值，而 lazy 标记下面的那些节点中存在的都是一个虚拟的值，需要与祖先节点中的 lazy 标记的贡献进行加和才能得到真实答案

使用标记永久化的一个好处就是，每次修改仍然是至多修改 logn 个节点，这样就能实现主席树的区间修改的操作了

对于这个题目而言，注意一下空间大小，因为初始时需要建立一棵线段树，这里需要 4 * n ，然后每次修改都需要新建 logn 条树链，设 n 与 m 同阶，最终需要新建 nlogn 个树链，总的空间复杂度也就是 n ( 4 + nlogn )，logn 记为 20，所以开 25 * n 就好了

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e5+100;struct Node
{int l,r;LL sum,lazy;
}tree[N*25];int cnt,root[N];void build(int &k,int l,int r)
{k=cnt++;tree[k].lazy=0;if(l==r){scanf("%lld",&tree[k].sum);return;}int mid=l+r>>1;build(tree[k].l,l,mid);build(tree[k].r,mid+1,r);tree[k].sum=tree[tree[k].l].sum+tree[tree[k].r].sum;
}void update(int &k,int l,int r,int L,int R,LL val)//[l,r]:目标区间 [L,R]:当前区间
{tree[cnt++]=tree[k];k=cnt-1;tree[k].sum+=val*(r-l+1);if(L>=l&&R<=r){tree[k].lazy+=val;return;}int mid=L+R>>1;if(r<=mid)update(tree[k].l,l,r,L,mid,val);else if(l>mid)update(tree[k].r,l,r,mid+1,R,val);else{update(tree[k].l,l,mid,L,mid,val);update(tree[k].r,mid+1,r,mid+1,R,val);}
}LL query(int k,int l,int r,int L,int R,LL add)//[l,r]:目标区间 [L,R]:当前区间
{if(R<l||L>r)return 0;if(L>=l&&R<=r)return tree[k].sum+add*(R-L+1);int mid=L+R>>1;return query(tree[k].l,l,r,L,mid,add+tree[k].lazy)+query(tree[k].r,l,r,mid+1,R,add+tree[k].lazy);
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){cnt=1;build(root[0],1,n);int time=0;while(m--){char op[5];scanf("%s",op);if(op[0]=='C'){int l,r,d;scanf("%d%d%d",&l,&r,&d);time++;root[time]=root[time-1];update(root[time],l,r,1,n,d);}else if(op[0]=='Q'){int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);printf("%lld\n",query(root[time],l,r,1,n,0));}else if(op[0]=='H'){int l,r,t;scanf("%d%d%d",&l,&r,&t);printf("%lld\n",query(root[t],l,r,1,n,0));}else if(op[0]=='B'){scanf("%d",&time);}}}return 0;
}

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