【原创】积性函数和狄利克雷卷积学习笔记 未完成
Index
- 狄利克雷卷积和积性函数
- 〇、说在前面
- 一、一些定义
- 1.数论函数
- 2.积性函数与完全积性函数
- (1)定义
- (2)举例
- ①（普通）积性函数
- ②完全积性函数
- (3)性质
- 二、狄利克雷卷积
- 1.定义
- 2.性质
狄利克雷卷积和积性函数
〇、说在前面
作为杜教筛，FWT等等等的前置知识。
工作量终于比较小一些了。
一、一些定义
1.数论函数
对于函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，如果定义域为x∈Z+x\in Z^+x∈Z+，值域为f(x)∈Cf(x)\in Cf(x)∈C，则称f(x)为数论函数。
个人理解：数论中只有整数（基本上都是非负）嘛，所以数论函数就是整数集合（此处为正整数）的一个函数嘛。
数论函数是不是可以类比于数列？
2.积性函数与完全积性函数
(1)定义
对于数论函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，若∀x1,x2∈Z+&gcd(x1,x2)=1，f(x1×x2)=f(x1)×f(x2)并且f(1)=1若\forall x_1,x_2 \in Z^+ \And \gcd(x_1, x_2)=1， f(x_1\times x_2)=f(x_1)\times f(x_2)并且f(1)=1若∀x1,x2∈Z+&gcd(x1,x2)=1，f(x1×x2)=f(x1)×f(x2)并且f(1)=1，则称f(x)为积性函数。
也就是说对于数论函数f(x)，如果f(x)=1，并且任意两个互质的正整数的函数值的乘积等于这两个数的乘积的函数值。
（吐槽）这句话（虽然都是我自己说的）说的还是挺好玩的嘛，函数值的乘积，乘积的函数值。
话说回来……
我是不是完全搞错了引用块的用途啊。
特别的，如果说一个数论函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)满足∀x1,x2∈Z+,f(x1×x2)=f(x1)×f(x2)\forall x_1,x_2 \in Z^+, f(x_1\times x_2)=f(x_1)\times f(x_2)∀x1,x2∈Z+,f(x1×x2)=f(x1)×f(x2)，则称f(x)f(x)f(x)为完全积性函数。
(2)举例
①（普通）积性函数
| 名称 | 符号 | 解释 |
|---|---|---|
| 除数函数 | σk(n)\sigma_k(n)σk(n) | σk(n)=∑d∣ndk\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^kσk(n)=∑d∣ndk，σ\sigmaσ为小写sigma |
| 因数个数函数 | τ(n)\tau(n)τ(n) | τ(n)=∑d∣n1\tau(n)=\sum_{d\mid n}1τ(n)=∑d∣n1，就是除数函数的k取0时的情况，τ\tauτ为小写tau |
| 因数和函数 | σ(n)\sigma(n)σ(n) | σ(n)=∑d∣nd\sigma(n)=\sum_{d\mid n}dσ(n)=∑d∣nd，就是除数函数的k取1时的情况 |
| 欧拉函数 | φ(n)\varphi(n)φ(n) |
φ(n)=∑i=1n[gcd(i,n)=1]\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]φ(n)=∑i=1n[gcd(i,n)=1]，φ\varphiφ为小写phi，KaTeX中是\varphi
|
| 莫比乌斯函数 | μ(n)\mu(n)μ(n) | μ(n)={1,n=1(−1)t,n=∏piisaprime1≤i≤tpi0,otherwise意会一下就好了，今天μ(n)不是主角\mu(n)=\left\{\begin{aligned}&1,n=1\\&(-1)^t,n=\prod_{p_{i} \, is \, a \,prime}^{1\leq i \leq t}p_i \\&0,otherwise\\ \small& 意会一下就好了，今天\mu(n)不是主角 \end{aligned}\right.μ(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1,n=1(−1)t,n=piisaprime∏1≤i≤tpi0,otherwise意会一下就好了，今天μ(n)不是主角 |
②完全积性函数
| 名称 | 符号 | 解释 |
|---|---|---|
| 元函数 | e(n)e(n)e(n) | e(n)=[n=1]e(n)=[n=1]e(n)=[n=1] |
| 幂函数 | idk(n)id_k(n)idk(n) | idk(n)=nkid_k(n)=n^kidk(n)=nk |
| 恒等函数 | id(n)id(n)id(n) | id(n)=n,就是k=1的幂函数id(n)=n,就是k=1的幂函数id(n)=n,就是k=1的幂函数 |
| 单位函数 | I(n)I(n)I(n) | I(n)=1，就是id0(n)I(n)=1，就是id_0(n)I(n)=1，就是id0(n) |
(3)性质
不想引入过多结论。
对于积性函数y=f(n)y=f(n)y=f(n),∀n=∏i=1tpiki,f(n)=∏i=1tf(piki)\forall n=\prod_{i=1}^{t}{p_i^{k_i}},f(n)=\prod_{i=1}^{t}{f(p_i^{k_i})}∀n=∏i=1tpiki,f(n)=∏i=1tf(piki)；特别的，对于完全积性函数，f(n)=∏i=1tf(piki)=∏i=1tf(pi)kif(n)=\prod_{i=1}^{t}{f(p_i^{k_i})}=\prod_{i=1}^{t}{f(p_i)^{k_i}}f(n)=∏i=1tf(piki)=∏i=1tf(pi)ki。
应该还是比较显然吧。
就是把一个数质因数分解，原数的积性函数值等于各质因子的若干次方的积性函数值的和。
二、狄利克雷卷积
1.定义
对于数论函数f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)，定义一种二元运算（就是在两个东西之间进行运算的符号）叫做狄利克雷卷积，得到的还是一个数论函数，形如(f∗g)(n)(f*g)(n)(f∗g)(n)。
然后：f∗g=(f∗g)(n)=∑d∣nf(d)⋅g(nd)\large f*g=(f*g)(n)=\sum_{d|n}{f(d)\cdot g(\frac{n}{d})}f∗g=(f∗g)(n)=d∣n∑f(d)⋅g(dn)
然后注意区分乘法×\times×和卷积∗*∗。
2.性质
交换律：f∗g=g∗ff*g=g*ff∗g=g∗f，这个就使用显然法显过去吧。
结合律：(f∗g)∗h=f∗(g∗h)(f∗g)∗h=f∗(g∗h)(f∗g)∗h=f∗(g∗h)，很简单，稍微证一下：
左边=(∑d∣nf(d)⋅g(nd))∗h(n)左边=\left(\sum_{d|n}{f\left(d\right)\cdot g\left(\frac{n}{d}\right)}\right)*h(n) 左边=⎝⎛d∣n∑f(d)⋅g(dn)⎠⎞∗h(n)
【原创】积性函数和狄利克雷卷积学习笔记 未完成相关推荐
- 积性函数与Dirichlet卷积 学习小记
前言 首先感谢 XHM 大佬的悉心指导,我懂得了不少~. 链一下他关于这方面的见解.博客--XHM 的Dirichlet卷积 学习小记 一些定义 回归正题,这次我学习了一下狄利克雷卷积方面的知识. 先 ...
- 狄利克雷卷积_积性函数和狄利克雷卷积小结
1.积性函数:对于函数$f(n)$,若满足对任意互质的数字a,b,a*b=n且$f(n)=f(a)f(b)$,那么称函数f为积性函数.显然f(1)=1. 2.狄利克雷卷积:对于函数f,g,定义它们的卷 ...
- （数论一）积性函数与狄利克雷卷积
今天做的一道题就是有关积性函数与狄利克雷卷积的,很懵逼.觉得有必要学一手了 一. 积性函数是什么呢? 对于函数f,对于任意的a,b互质,都有: f(a * b) = f(a) * f(b) ...
- 积性函数、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演
狄利克雷卷积 定义: f∗g(n)=∑d∣nf(d)g(nd)f*g(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd)f∗g(n)=d∣n∑f(d)g(dn) 计算的时候可以把枚举约数转换 ...
- 专题·莫比乌斯函数与欧拉函数【including 整除分块，积性函数，狄利克雷卷积，欧拉函数，莫比乌斯函数，莫比乌斯反演
初见安~又是好久没写博客了--加上CSP才炸了一波. 目录 一.整除分块 题解 二.积性函数 三.狄利克雷卷积 四.欧拉函数 五.莫比乌斯函数(mu) 六.莫比乌斯反演 一.整除分块 看个例题:洛谷P ...
- 【算法讲7：积性函数（下）】⌈ 加性函数 ⌋ 与 ⌈ 积性函数 ⌋ 与 ⌈ 狄利克雷卷积 ⌋ 详细介绍
[算法讲7:积性函数(下)] 前置 补充 ⌈\lceil⌈积性函数⌋\rfloor⌋ (乘性函数) 四个最基本的定义 关于积性函数的基本性质 性质一:f(1) 性质二:积性函数的各种传递 性质三:整数 ...
- 证明：两个积性函数的狄利克雷乘积为积性函数
证明:两个积性函数的狄利克雷乘积为积性函数 已知 求证 解 相关概念:积性函数,狄利克雷乘积 已知 ∑i=2x[i∣x]=∑i=2y[i∣y]=1f(x)×f(y)=f(x×y),d(x)×d(y)= ...
- 狄利克雷卷积_狄利克雷卷积学习笔记
蒟蒻我在莫比乌斯反演学习笔记里留下了几个坑,于是开始漫长的填坑路. 狄利克雷卷积学习笔记 前置知识1:数论函数 什么是数论函数呢?数论函数指定义域为正整数,陪域为复数的函数. 以下知识中涉及到的函数大 ...
- CCPC-2017 杭州站B丨HDU - 6265丨数论丨积性函数 丨欧拉函数丨狄利克雷卷积丨思维变换
[参考博客]@WJHKDGHP ccpc2017杭州站 B [参考博客]@灬从此以后灬 2017 CCPC 杭州 HDU6265B 积性函数 特别感谢以上两位博主,让我看懂了许多细节. 交题网址(HD ...
最新文章
- TinyFrame升级之八：实现简易插件化开发
- 打造U盘下的linux 亲测可以使用
- vue webpack 访问php,实例详解vue-cli优化的webpack配置
- android 之intent(意图)详解
- 人工智能技术结合制造业，是学术研究还是落地方案？！
- Apache-SimpleEmail 简单应用
- 手把手带你手写SpringMVC，剑指优秀开源框架灵魂
- 云存储网关 ＞ 常见问题 ＞ 文件网关 ＞ 文件网关的缓存有什么作用
- 10 倍高清不花！大麦端选座 SVG 渲染
- ISE_FIFO_IP核接口测试(一）
- github-production-release Git-2.28.0-64-bit
- Php 类似coffeescript,有什么东西像CoffeeScript for PHP吗？
- 海外英语杂志社海外英语杂志社海外英语编辑部2022年第14期目录
- web网页设计期末课程大作业——基于HTML仿唯品会电商项目的设计与实现
- .loc 与.iloc
- table+jq实现日期排期表
- 回顾敏捷实践踩过的坑：如果重新做，我会这样做（一）
- android驱动开发 老罗,在Ubuntu上为Android增加硬件抽象层（HAL）模块访问Linux内核驱动程序（老罗学习笔记3）...
- dropzone 分段上传 进度条后退问题解决
- 基于SSH团购网站的设计与实现