LCA 最近公共祖先(RMQ、树上倍增、Tarjan)，树上两点距离，线段重合长度

对于LCA的一些理解

RMQ

dfs处理树
对于一个树形结构，可以用dfs将一颗树转化成数组，数组中记录每个点的标号，这样数组就按照dfs的顺序把树存了下来
确定祖先的范围
对于询问的节点X和Y， X、Y的祖先一定存在于数组中X、Y第一次出现的区间内，而且祖先就是区间内深度最小的节点
RMQ
dfs的复杂度就是树边数的二倍，所以区间查询需要优化，这里可以用RMQ算法，预处理结果O(1)得到最值

void dfs(int pre, int x, int step) {depth[x] = step;first[x] = cnt;tree[cnt] = x;cnt++;int len = g[x].size();for (int i = 0; i < len; ++i) {if (g[x][i] == pre) continue;dfs(x, g[x][i], step + 1);tree[cnt++] = x;}return;
}
int Min(int a, int b) {if (depth[a] < depth[b])    return a;else    return b;
}
void RMQ() {for (int i = 1; i <= cnt; ++i) {dp[i][0] = tree[i];}for (int i = 1; (1 << i) <= cnt; ++i) {for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= cnt; ++j) {dp[j][i] = Min(dp[j][i - 1], dp[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);}}
}
int LCA(int a, int b) {int l = first[a];int r = first[b];if (l > r)  swap(l, r);int len = log2(r - l + 1);return Min(dp[l][len], dp[r - (1 << len) + 1][len]);
}

树上倍增

father[ i ] [ j ]表示 i 的第 2 ^ j 个父亲

dfs
dfs在处理深度的同时更新每个人的father数组

void dfs(int pre, int x) {// 更新fatherfor (int i = 1; i <= log2(n); ++i) {if (fa[x][i - 1] == 0)  break;fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1];}// 记录深度depth[x] = depth[pre] + 1;int len = g[x].size();for (int i = 0; i < len; ++i) {int son = g[x][i];if (son == pre) continue;fa[son][0] = x;dfs(x, son);}
}

LCA
首先将两个节点的深度调成一样，如果深度相同而且是同一个点就找到最近的祖先了，如果深度相同但是节点不同，这时就要向上倍增，需要注意的是倍增的中止条件不是两个节点相同，而是节点的父亲相同。因为每次倍增的范围很大，很可能超过最近公共祖先，我们可以从最大的祖先开始，如果祖先相同缩小范围，如果祖先不同更新两个点的状态继续找，最后两个人的最近公共祖先一定是father[ i ][ 0 ]

int LCA(int a, int b) {if (depth[a] < depth[b])  swap(a, b);int depth_x = depth[a] - depth[b];// 先将两个点的深度调成一样for (int i = 0; i <= log2(depth_x); ++i) {if (depth_x & (1 << i))a = fa[a][i];}// 如果深度一样，而且相同直接返回if (a == b) return a;// 从最远的父亲开始for (int i = log2(depth[a]); i >= 0; --i) {// 如果父亲不同就向上更新if (fa[a][i] != fa[b][i]) {a = fa[a][i];b = fa[b][i];}}return fa[a][0];
}

Tarjan

完美结合并查集和dfs 在**O(n + q)**解决LCA问题。
dfs的时候需要做以下处理：

对于当前点x来说：如果存在询问（x，y），而且y已经dfs访问过，那么LCA就是 find(y)
回溯的时候要将son的祖先设置为x（子树的祖先始终为根节点）

int n;
LL dp[maxn], ans[maxn];
int pre[maxn], vis[maxn];
struct ac{int v, d;
};
vector<ac> G[maxn], Q[maxn];int find(int x) {return x == pre[x] ? x : pre[x] = find(pre[x]);
}void Tarjan(int fa, int x) {vis[x] = 1;// 更新询问for (auto it : Q[x]) {if (!vis[it.v]) continue;ans[it.d] = dp[x] + dp[it.v] - 2 * dp[find(it.v)];}for (auto it : G[x]) {if (it.v == fa) continue;dp[it.v] = dp[x] + it.d;Tarjan(x, it.v);pre[it.v] = x; // 更新祖先}// for (int i = 0; i < (int)Q[x].size(); ++i) {//  if (!vis[ Q[x][i].v ]) continue;//  ans[ Q[x][i].d ] = dp[x] + dp[ Q[x][i].v ] - 2 * dp[find( Q[x][i].v )];// }// for (int i = 0; i < (int)G[x].size(); ++i) {//    int son = G[x][i].v;//     if (son == fa) continue;//    dp[ G[x][i].v ] = dp[x] + G[x][i].d;//    Tarjan(x, son);//   pre[ G[x][i].v ] = x; // }
}

求树上两点的距离

树上两点的距离是唯一的，距离 = depth[X] + depth[Y] - 2 * depth[ancestor]

线段重合的长度

思想和求距离一样，例如A到C和B到C的重合长度 = （dis_ac + dis_bc - dis_ab）/ 2

int dis(int a, int b) {int ancestor = LCA(a, b);int depth_a = depth[a];int depth_b = depth[b];int depth_ancestor = depth[ancestor];return depth_a + depth_b - 2 * depth_ancestor;
}

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