区分事件的独立性与互不相容性

2024-06-10 07:53:25

区分事件的独立性与互不相容性

@(概率论)

事件的独立性

事件A,B独立是指两个事件之间的概率满足等式：

P(AB)=P(A)P(B)P(AB) = P(A)P(B)

事件的互不相容性

事件A,B互不相容指的是两个事件之间满足：

AB=空集AB = 空集

所以两个概念定义上就差别很大很大。独立性是概率性质，互不相容性是事件的关系运算上。

此外需要牢记的是，概率推导不出事件的性质。

互不相容推导不出独立，独立也推导不出互不相容。

但是由事件的关系可以得到一些概率关系。比如，互不相容时，P(AB) = 0.

思考一道题目：

（2012.14）设A,B,C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)=12,P(C)=13P(AB) = \frac{1}{2},P(C) = \frac{1}{3}则P(AB|C⎯⎯⎯)=?P(AB|\overline C)=?

分析：一种标准解法是：A和C互不相容，则有A⊂C⎯⎯⎯→AB⊂C⎯⎯⎯→P(ABC⎯⎯⎯)=P(AB)A\subset \overline C \rightarrow AB\subset \overline C \rightarrow P(AB\overline C) = P(AB)

因此，P(AB|C⎯⎯⎯)=P(ABC⎯⎯)P(C⎯⎯)=P(AB)1−P(C)=34P(AB|\overline C) = \frac{P(AB\overline C)}{P(\overline C)} = \frac{P(AB)}{1-P(C)} = \frac{3}{4}.

或者用另外的思路：
P(AB|C⎯⎯⎯)=P(ABC⎯⎯)P(C⎯⎯)=P(AB)−P(ABC)1−P(C)=34P(AB|\overline C) = \frac{P(AB\overline C)}{P(\overline C)} = \frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)} = \frac{3}{4}.

其中P(ABC)=0,因为A,C互不相容，所以AC=∅,P(ABC) = 0,因为A,C互不相容，所以AC=\varnothing,
而ABC⊆AB,→ABC=∅,P(ABC)=0ABC\subseteq AB,\rightarrow ABC = \varnothing,P(ABC) = 0

另外，减法公式：

P(AB⎯⎯⎯)=P(A)−P(AB)P(A\overline B) = P(A)-P(AB)

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