证明：

n⋅(D1−D2)=ρs\bm{n}\cdot(\bm{D}_{1}-\bm{D}_{2})=\bm{\rho}_{s} n⋅(D1−D2)=ρs
如图所示，取一圆柱，当上下面无限接近于分界面时，圆柱侧面积S3→0S_{3}\rightarrow0S3→0

n\bm{n}n为单位法向量
D1\bm{D}_{1}D1、D2\bm{D}_{2}D2为分界面两侧电位移矢量
ρs\bm{\rho}_{s}ρs为电荷的面密度

∮D⋅dS=D1⋅nS1−D2⋅nS2\oint\bm{D}\cdot d\bm{S}=\bm{D}_{1} \cdot \bm{n}S_{1}-\bm{D}_{2} \cdot \bm{n}S_{2}∮D⋅dS=D1⋅nS1−D2⋅nS2

因为S1=S2S_{1}=S_{2}S1=S2,所以：
∮D⋅dS=(D1−D2)⋅nS\oint\bm{D}\cdot d\bm{S}=(\bm{D}_{1}-\bm{D}_{2})\cdot\bm{n}S∮D⋅dS=(D1−D2)⋅nS

又因为∮ΓD⋅dS=q\oint_{\Gamma}\bm{D}\cdot d\bm{S}=q∮ΓD⋅dS=q，q为封闭曲面Γ\GammaΓ包围的电荷。
因为圆柱上下面无线接近于分界面，所以V=0V=0V=0，所以圆柱体内的电荷不会是体电荷，如果存在面电荷ρs\rho_{s}ρs，则总电荷量为q=ρsSq=\rho_{s}Sq=ρsS，所以:

(D1−D2)⋅nS=ρsS(\bm{D}_{1}-\bm{D}_{2})\cdot\bm{n}S=\rho_{s}S(D1−D2)⋅nS=ρsS
即：
n⋅(D1−D2)=ρs\bm{n}\cdot (\bm{D}_{1}-\bm{D}_{2})=\rho_{s}n⋅(D1−D2)=ρs

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