题解 luoguP2928 【[USACO09HOL]牛的打手Cattle Bruisers】

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没有题解，来补一篇。

观察到题目中BessieBessieBessie和杀手都在动，所以考虑相对运动，以BessieBessieBessie的位置作为原点，BessieBessieBessie不动，只考虑杀手运动。让BessieBessieBessie不动，直接杀手的位置和速度减去BessieBessieBessie的即可。

考虑杀手攻击半径为RRR，转化一下即进入以Bessie(0,0)Bessie(0,0)Bessie(0,0)为圆心，RRR为半径的圆，就可攻击到BessieBessieBessie。

所以我们只要求出每个杀手进入该圆与离开该圆的时间点即可。最后就可以对所以时间点进行排序，然后对整条时间线进行类似于扫描线的方法统计答案。

显然就是这样一张图：

求出直线与圆的交点即可。

设杀手起点为(x,y)(x,y)(x,y)，速度为(vx,vy)(vx,vy)(vx,vy)，设在ttt时刻恰好在交点，那么：
(x+t×vx)2+(y+t×vy)2=r2(x+t\times vx)^2+(y+t\times vy)^2=r^2 (x+t×vx)2+(y+t×vy)2=r2
化简得到一个一元二次方程：
(vx2+vy2)×t2+(2x×vx+2y×vy)×t+x2+y2−r2=0(vx^2+vy^2)\times t^2+(2x\times vx+2y\times vy)\times t+x^2+y^2-r^2=0 (vx2+vy2)×t2+(2x×vx+2y×vy)×t+x2+y2−r2=0
解出来即可。(((即程序里的work)work)work)

注意判断vx,vyvx,vyvx,vy均为0的情况。

#include<bits/stdc++.h>
#define ts cout<<"ok"<<endl
#define int long long
#define hh puts("")
using namespace std;
int n,r,top;
double bx,by,bvx,bvy,eps=1e-8,L,R;
struct node{double x,y,vx,vy;
}a[500005];
struct TM{double t;int s;
}b[500005];
inline int read(){int ret=0,ff=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') ff=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){ret=(ret<<3)+(ret<<1)+(ch^48);ch=getchar();}return ret*ff;
}
inline void work(double A,double B,double C){//a*t*t+b*t+c=0if(fabs(A)<eps){if(C<=0) L=0,R=1e9;else L=R=-1;return;}double delta=B*B-4*A*C;if(delta<0){//一元二次方程判根 L=R=-1;return;}L=(-B-sqrt(delta))/(2*A);R=(-B+sqrt(delta))/(2*A);if(L<0) L=0;if(R<0) R=-1;
}
inline bool cmp(TM a,TM b){return a.t<b.t;
}
signed main(){n=read(),r=read();bx=read(),by=read(),bvx=read(),bvy=read();for(int i=1;i<=n;i++){a[i].x=read()-bx;a[i].y=read()-by;a[i].vx=read()-bvx;a[i].vy=read()-bvy;}for(int i=1;i<=n;i++){double ds=a[i].x*a[i].x+a[i].y*a[i].y-r*r;work(a[i].vx*a[i].vx+a[i].vy*a[i].vy,2*a[i].x*a[i].vx+2*a[i].y*a[i].vy,ds);if(R!=-1) b[++top]=(TM){L,1},b[++top]=(TM){R,-1};}sort(b+1,b+top+1,cmp);int sum=0,ans=0;for(int i=1;i<=top;i++){sum+=b[i].s;ans=max(ans,sum);}printf("%lld",ans);return 0;
}

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