数据结构----二叉树

五、二叉树

一、二叉树入门

之前我们实现的符号表中，不难看出，符号表的增删查操作，随着元素个数N的增多，其耗时也是线性增多的，时

间复杂度都是O(n),为了提高运算效率，接下来我们学习树这种数据结构。

1.1 树的基本定义

树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家

谱、单位的组织架构、等等。

树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就

是说它是根朝上，而叶朝下的。

树具有以下特点：

1.每个结点有零个或多个子结点；

2.没有父结点的结点为根结点；

3.每一个非根结点只有一个父结点；

4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

1.2 树的相关术语

结点的度：

一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；

叶结点：

度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

分支结点：

度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

结点的层次：

从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

结点的层序编号：

将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。

树的度：

树中所有结点的度的最大值

树的高度(深度)：

树中结点的最大层次

森林：

m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根

结点，森林就变成一棵树

孩子结点：

一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点

双亲结点(父结点)：

一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点

兄弟结点：

同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

1.3 二叉树的基本定义

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

满二叉树：

一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树：

叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

1.4 二叉查找树的创建

1.4.1二叉树的结点类

根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们

设计一个结点类来描述结点这个事物。

结点类API设计：

代码实现：

    private static class Node<Key, Value> {public Key key;public Value value;public Node left;public Node right;public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}

1.4.2 二叉查找树API设计

1.4.3 二叉查找树实现

插入方法put实现思想：

如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
如果当前树不为空，则从根结点开始：

2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

2.3 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可

查询方法get实现思想：

从根节点开始：

如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

删除方法delete实现思想：

找到被删除结点；
找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
删除右子树中的最小结点
让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右

子树
让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

代码：

public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {// 记录根节点private Node root;// 记录树中元素的个数private int N;// 获取树中元素的个数public int size() {return N;}// 像树中添加元素key-valuepublic void put(Key key, Value value) {root = put(root, key, value);}// 向指定树x中添加key-value，并返回添加元素后新的树private Node put(Node x, Key key, Value value) {// 如果x子树为空if (x == null) {N++;return new Node(key, value, null, null);}// 如果x子树不为空// 比较x结点的键，和key的大小int cmp = key.compareTo((Key) x.key);if (cmp > 0) {// 如果key>x结点的key，则继续找x结点的右子树x.right = put(x.right, key, value);} else if (cmp < 0) {// 如果key<x结点的key，则继续找x结点的左子树x.left = put(x.left, key, value);} else {// 如果key=x结点的key，则替换x结点的值为value即可x.value = value;}return x;}// 查询树中指定key对应的valuepublic Value get(Key key) {return get(root, key);}// 从指定的树x中，查找key对应的valueprivate Value get(Node x, Key key) {// x树为空if (x == null) {return null;}// x树不为空// 比较x结点的键，和key的大小int cmp = key.compareTo((Key) x.key);if (cmp > 0) {// 如果key>x结点的key，则继续找x结点的右子树return get(x.right, key);} else if (cmp < 0) {// 如果key<x结点的key，则继续找x结点的左子树return get(x.left, key);} else {// 如果key=x结点的key,就是找到了，返回x结点的值即可return (Value) x.value;}}// 删除树中key对应的valuepublic void delete(Key key) {delete(root, key);}// 删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树public Node delete(Node x, Key key) {if (x == null) {return null;}int cmp = key.compareTo((Key) x.key);if (cmp > 0) {// 如果key>x结点的key，则继续找x结点的右子树x.right = delete(x.right, key);} else if (cmp < 0) {// 如果key<x结点的key，则继续找x结点的左子树x.left = delete(x.left, key);} else {// 让元素个数-1N--;// 如果key=x结点的key,完成真正的删除结点// 找到右子树中最小的结点if (x.right == null) {return x.left;}if (x.left == null) {return x.right;}Node minNode = x.right;while (minNode.left != null) {minNode = minNode.left;}// 删除右子树中最小的结点,也就是找到的minNodeNode n = x.right;while (n.left != null) {if (n.left.left == null) {n.left = null;} else {// 变换n结点n = n.left;}}// 让删除结点的父结点与删除结点的右结点相连接（连接大的一方）n.left = minNode.right;// 让x结点的左子树成为minNode的左子树minNode.left = x.left;// 让x结点的右子树成为minNode的右子树minNode.right = x.right;// 让x结点的父结点指向minNode,因为前面// x.left = delete(x.left, key);// x.right = delete(x.right, key);  所以返回x使得父节点下一个结点变为minNodex = minNode;}return x;}private static class Node<Key, Value> {public Key key;public Value value;public Node left;public Node right;public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}}

public static void main(String[] args) {//创建二叉查找树对象BinaryTree<Integer, String> tree = new BinaryTree<>();//测试插入tree.put(1,"张三");tree.put(7,"李四");tree.put(3,"王五");System.out.println("插入完毕后元素的个数："+tree.size());//测试获取System.out.println("键3对应的元素是："+tree.get(3));//测试删除tree.delete(3);System.out.println("删除后的元素个数："+tree.size());System.out.println("删除后键3对应的元素:"+tree.get(3));}
输出：
插入完毕后元素的个数：3
键3对应的元素是：王五
删除后的元素个数：2
删除后键3对应的元素:null

1.4.4 二叉查找树其他便捷方法

1.4.4.1 查找二叉树中最小的键

在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，比如我们的树中存储的是学生的排名和姓名数

据，那么需要查找出排名最低是多少名？这里我们设计如下两个方法来完成：

 /*找出树中最小的键*/public Key min() {return (Key) min(root).key;}/*找出指定树x中，最小键所在的结点*/private Node min(Node x) {if (x.left != null) {return min(x.left);} else {return x;}}

1.4.4.2 查找二叉树中最大的键

在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最大值，比如比如我们的树中存储的是学生的成绩和学生

的姓名，那么需要查找出最高的分数是多少？这里我们同样设计两个方法来完成：

    /*找出树中最大的键*/public Key max() {return (Key) max(root).key;}/*找出指定树x中，最小大键所在的结点*/private Node max(Node x) {if (x.right != null) {return max(x.right);} else {return x;}}

1.5 二叉树的基础遍历

很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性

结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问

题。

我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访

问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：

前序遍历；

先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树

中序遍历；

先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树

后序遍历；

先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

如果我们分别对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下：

1.5.1 前序遍历

我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

public Queue<Key> preErgodic()：使用前序遍历，获取整个树中的所有键

private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys)：使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队

列中

实现过程中，我们通过前序遍历，把,把每个结点的键取出，放入到队列中返回即可。

实现步骤：

1.把当前结点的key放入到队列中;

2.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树

3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

代码：

    /*使用前序遍历，获取整个树中的所有键*/public Queue<Key> preErgodic() {Queue<Key> keys = new Queue<>();preErgodic(root, keys);return keys;}/*使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中*/private void preErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {if (x == null) {return;}// 把x结点的key放到keys中keys.enqueue((Key) x.key);// 递归遍历x结点的左子树if (x.left != null) {preErgodic(x.left, keys);}// 递归遍历x结点的右子树if (x.right != null) {preErgodic(x.right, keys);}}

1.5.2 中序遍历

我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

public Queue<Key> midErgodic()：使用中序遍历，获取整个树中的所有键

private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys)：使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队

列中

实现步骤：

1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树

2.把当前结点的key放入到队列中;

3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

代码：

 /*使用中序遍历，获取整个树中的所有键*/public Queue<Key> midErgodic() {Queue<Key> keys = new Queue<>();midErgodic(root, keys);return keys;}/*使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中*/private void midErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {if (x == null) {return;}// 先递归把左子树中的键放到keys中if (x.left != null) {midErgodic(x.left, keys);}// 把当前结点x的键放到keys中keys.enqueue((Key) x.key);// 在递归把右子树中的键放到keys中if (x.right != null) {midErgodic(x.right, keys);}}

1.5.3 后序遍历

我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

public Queue<Key> afterErgodic()：使用后序遍历，获取整个树中的所有键

private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys)：使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

实现步骤：

1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树

2.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

3.把当前结点的key放入到队列中;

代码：

    /*使用后序遍历，获取整个树中的所有键*/public Queue<Key> afterErgodic() {Queue<Key> keys = new Queue<>();afterErgodic(root, keys);return keys;}/*使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中*/private void afterErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {if (x == null) {return;}// 先递归把左子树中的键放到keys中if (x.left!=null){afterErgodic(x.left,keys);}// 在递归把右子树中的键放到keys中if (x.right!=null){afterErgodic(x.right,keys);}// 把当前结点x的键放到keys中keys.enqueue((Key) x.key);}

1.6 二叉树的层序遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：

那么层序遍历的结果是：EBGADFHC

我们在4.4中创建的树上，添加层序遍历的API：

public Queue<Key> layerErgodic()：使用层序遍历，获取整个树中的所有键

实现步骤：

创建队列，存储每一层的结点；
使用循环从队列中弹出一个结点：

2.1 获取当前结点的key；

2.2 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中

2.3 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

代码：

  /*** 层序遍历* @return*/public Queue<Key> layerErgodic(){// 定义两个队列。分别存储树中的键和树中的结点Queue<Key> keys = new Queue<>();Queue<Node> nodes = new Queue<>();// 默认，往队列中放入根结点nodes.enqueue(root);while (!nodes.isEmpty()){// 从队列中弹出一个结点，把key放入到keys中Node n = nodes.dequeue();keys.enqueue((Key) n.key);// 判断当前结点还有没有左子节点，如果有，则放入到nodes中if (n.left!=null){nodes.enqueue(n.left);}// 判断当前结点还有没有右子节点，如果有，则放入到nodes中if (n.right!=null){nodes.enqueue(n.right);}}return keys;}

1.7 二叉树的最大深度问题

需求：

给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）

上面这棵树的最大深度为4。

实现：

我们在1.4中创建的树上，添加如下的API求最大深度：

public int maxDepth()：计算整个树的最大深度

private int maxDepth(Node x):计算指定树x的最大深度

实现步骤：

如果根结点为空，则最大深度为0；
计算左子树的最大深度；
计算右子树的最大深度；
当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1

代码：

    // 获取整个树的最大深度public int maxDepth() {return maxDepth(root);}// 获取指定树x的最大深度public int maxDepth(Node x) {if (x == null) {return 0;}// 总的深度int max = 0;// 左子树深度int maxL = 0;// 右子树深度int maxR = 0;// 计算x左子树的最大深度if (x.left != null) {maxL = maxDepth(x.left);}// 计算x右子树的最大深度if (x.right != null) {maxR = maxDepth(x.right);}// 取二者较大的max = maxL > maxR ? maxL + 1 : maxR + 1;return max;}