平面划分问题、超平面规划

直线划分平面问题

题目描述

给定n条直线，判断这n条直线最多能将平面划分为多少区域。

解析

首先观察1条直线的划分情况。

显而易见，1条直线分平面为两个区域。

然后是2条直线的划分情况。

接着是3条直线的划分情况。

通过观察，便可发现当加入第n条直线的时候，这条直线将被之前的(n-1)条直线割为n份，每份都对应一块区域。设Fn为n条直线划分平面的区域数，那么有下面的递推关系：

下面讨论特殊的情况。

题目描述：

给定n条折线，求这n条折线最多能将平面分为多少份。

见下图。

分析：

如果直接用折线想要找到递推关系式很困难的。

将每条折线的折角的两条边反向延长既得到2n条直线的情况。见下图。

这样如果有2n条直线的话，就有n个顶点。设F_n为n条直线划分平面的区域数。Dn为n条折线划分的区域数。

如果有n条折线，那么这里就有n个顶点、2n条直线。

F_n和D_n相比少了2n条线段，根据之前讨论的直线划分的情况，每条对应一块区域。所以可以得到下面的关系式：

超平面规划

切n刀最多能分成(n+1)(n^2-n+6)/6块。可以参考Peter Orlik和Hiroaki Terao的《Arrangements of Hyperplanes》,第一节就讲的这个问题。

参考网页：http://www.guokr.com/post/18688/

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