论文解读：NSGA-II, EFR, EFR-RR

本文主要回顾三种算法(NSGA-II, EFR, EFR-RR)的动机以及他们之间的差异。

EFR是基于NSGA-II框架提出的集成适应度排序算法。二者之间的差异主要在环境选择上。

具体来说，在每一代中，NSGA-II对合并种群 R=PUQR = P U QR=PUQ 中的每个个体执行非支配排序以产生所有分类排序子集F=(F1,F2,⋯)F = (F_1, F_2, \cdots)F=(F1,F2,⋯)。然后，根据需要计算某个分类排序子集中所有个体的聚集距离，并建立偏序集。接下来从偏序集依次选取个体进入Pt+1P_{t+1}Pt+1。

摆渡给出偏序集的定义：它是数学中，特别是序理论中，指配备了部分排序关系的集合。这个理论将排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念抽象化。这种排序不必然需要是全部的，就是说不必要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。部分排序集合定义了部分排拓扑。

对应Matlab代码实现为：
```
%% Select the solutions in the last front based on their crowding distances
Last     = find(FrontNo==MaxFNo);
[~,Rank] = sort(CrowdDis(Last),'descend');
Next(Last(Rank(1:N-sum(Next)))) = true;
```
也就是说，偏序关系只可能在最后一个分类子集F_Last上被使用到。因为按照非支配关系可知，FLastF_{Last}FLast之前的分类子集中的所有个体均被选入了新群体，但只有FLastF_{Last}FLast中的一部分个体被选入新群体，此时称FLastF_{Last}FLast为临界层分类子集。
EFR采用了类似NSGA-II的分层框架。

首先，初始化父代种群，以及全局排序号RgR_gRg。执行以下循环直到算法结束：
算法根据得到的RgR_gRg进行选择（binary tournament selection），并执行交叉（SBX）、变异（polynomial mutation）等操作产生子代种群QtQ_tQt。合并父代和子代种群Rt=Pt⋃QtR_t = P_t \bigcup Q_tRt=Pt⋃Qt。

然后，采用一组更具一般性的适应度函数 F1,F2,⋯,FK\mathcal {F}_1, \mathcal {F}_2, \cdots, \mathcal {F}_KF1,F2,⋯,FK将个体xxx在mmm个目标上的函数值转换为一组适应度值(KKK维向量)。其目的是通过整合多个由不同的简单排序器（适应度函数）产生的排序结果来提高排序的可靠性和合理性。

选择适应度函数时需要考虑这样一个问题：当计算xxx的适应度 Fi(x)\mathcal {F}_i(x)Fi(x)时，应该独立于其它解。否则Fi(x)\mathcal {F}_i(x)Fi(x)对种群的更新毫无意义。因此需要额外手段来分配适应度值。文章作者采用了三个适应度函数：LpnormL^p~normLp norm，TchebycheffFunctionTchebycheff~FunctionTchebycheff Function 以及 PBIPBIPBI。

进一步地，需要为所有个体分配全局排序号RgR_gRg。具体来说，这类似于AR和MR过程，即为每个解xxx产生KKK个序号位，由向量R(x)=((r1(x),r2(x),⋯,rK(x)))TR(x)=((r_1(x), r_2(x), \cdots, r_K(x)))^TR(x)=((r1(x),r2(x),⋯,rK(x)))T表示。其中，rj(x)r_j(x)rj(x)表示xxx对应于适应度Fj\mathcal {F}_jFj的排序号。当全部解R(x)R(x)R(x)计算完成之后，可通过集成排序机制（如，ARARAR，MRMRMR以及作者提出的LRLRLR）为每个解xxx分配RgR_gRg。由于一些解可能具有相同的RgR_gRg。所以，根据RgR_gRg可以将种群分为不同的子集（层）{F1,F2,…}\{F_1, F_2, \dots \}{F1,F2,…}（这类似于NSGA-II中前沿的概念）。其中F1F_1F1为第一层，具有最小的RgR_gRg值，依次类推。同一子集FiF_iFi中的所有解个体都具有相同的第iii个最小RgR_gRg值。（关于ARARAR和MRMRMR排序算法略）。在种群更新时，将子集依次合并到新种群中，具体过程如下：
这里，Sort(Fi)Sort(F_i)Sort(Fi)采用随机排序。
EFR-RR在EFR的基础上，分析了影响解分布的另一个重要因素，距离。
首先说一说该优化机制的动机。高维空间中（Many-objective），由于等值线的存在，仅仅依靠权重向量难以维持解的多样性。为此，需要借助解到权重向量的垂直距离来维持演化过程中解的多样性，从而获得具有良好分布的帕累托前沿（Pareto front）。该思想具有不同的实现形式，例如，基于标准的MOEA/D和EFR算法，分别提出了MOEA/D-DU和EFR-RR。这里只介绍后者。

假设解x\textbf{x}x具有mmm个目标向量f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))\textbf{f}(\textbf{x})=(f_1(\textbf{x}), f_2(\textbf{x}), \dots, f_m(\textbf{x}))f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，直线LLL为穿过参考点z∗\textbf{z}^*z∗且以权重向量λj\lambda_jλj为方向的直线。定义x\textbf{x}x到λj\lambda_jλj的距离Dj,2(x)D_{j,2}(x)Dj,2(x)为：
Dj,2(x)=∥f(x)−z∗−Dj,1(x)(λj/∥λj∥)∥D_{j,2}(\textbf{x}) = \parallel \textbf{f}(\textbf{x})- \textbf{z}^*-D_{j,1}(\textbf{x})(\lambda_j / \parallel \lambda_j\parallel)\parallelDj,2(x)=∥f(x)−z∗−Dj,1(x)(λj/∥λj∥)∥
其中，Dj,1(x)D_{j,1}(\textbf{x})Dj,1(x) 是 z∗\textbf{z}^{*}z∗ 与交点 u\textbf{u}u 之间的距离
Dj,1(x)=∥(f(x)−z∗)Tλj∥/∥λj∥D_{j,1}(\textbf{x}) = \parallel (\textbf{f}(\textbf{x})- \textbf{z}^*)^T \lambda_j \parallel / \parallel \lambda_j \parallelDj,1(x)=∥(f(x)−z∗)Tλj∥/∥λj∥
下图是二维空间中解到权重向量垂直距离的示意图：

理想的情况是，由Tchebycheff函数得到最优解之后，也能够同时获得最理想的多样性。但是EFR并非如此。由其产生的最终解通常集中在最优解附近，而不能保证种群的多样性。为了解决这个问题，在EFR-RR在原始EFR算法中使用了排序限制（Ranking Restriction）方案：
只允许解x\textbf{x}x在目标空间中相应权重向量接近的适应度函数上排序。换句话说，并非所有权重向量都参与适应度的计算，而是目标空间中那些与当前解相近的权重向量组成的子集，记为B(x)B(\textbf{x})B(x)。其中包含NNN个权重向量中在垂直距离上与x\textbf{x}x最接近的K(K≪N)K(K\ll N)K(K≪N)个权重向量的下标，即：参与排序的适应度为Fj\mathcal {F}_jFj，其中j∈B(x)j\in B(\textbf{x})j∈B(x)。相应地，EFR-RR算法中解x\textbf{x}x的全局序号为：Rg(x)=min rj(x),j∈B(x)R_g(\textbf{x}) = \text{min}~r_j(\textbf{x}), ~j\in B(\textbf{x})Rg(x)=min rj(x), j∈B(x)

参考文献：
(NSGA-Ⅱ)-2002-A fast and elitist multiobjective genetic algorithm.
(EFR)-2014-Evolutionary Many-Objective Optimization Using Ensemble Fitness Ranking.
(EFR-RR)-2016-Balancing convergence and diversity in decomposition-based many-objective optimizers

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