文章目录

全排列生成算法
- 一钟声里的全排列
- - **思考**：生成算法
- 二字典序法
- - 1.递归
  - 2.字典序法
  - - 例1：生成字母abc的全排列
    - 例2：生成123的全排列
    - 例3：生成839647521的全排列
  - 3.**思考**：局部连续变化
- 三 SJT算法（Steinhaus–Johnson–Trotter algorithm）
- - 1. 引出思路
  - 2. 可移动数(mobile integer)：
  - 3. SJT算法
- 四程序支持与STIRLING数
- - 1. 程序支持
  - 2. stirling数
  - 3.思考：更快更好的全排列生成算法？

全排列生成算法

计算机权威参考书：Donald E.Knuth 《计算机程序设计艺术》

一钟声里的全排列

16，17世纪在英国兴起以固定次序鸣响一套教堂钟楼（包括5-12个钟）的方法。每口钟由一人鸣响。其变化规定为数序，例如12345，21345，23145等。

quiz：三一教堂12口编钟的变换钟乐有多少不同的曲子？

P(12,12)

思考：生成算法

怎样生成这么多的全排列？

二字典序法

全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有排列的方法。

1.递归

采用递归的思想：由{1,2,3…n−1}\{1,2,3\dots n-1\}{1,2,3…n−1}的排列生成{1,2,3…n}\{1,2,3\dots n\}{1,2,3…n}的排列。如下图所示。
缺点：内存消耗大，时间复杂度高。

2.字典序法

每个排列的后继都可以从它的前驱经过最少的变化获得。

中心思想：保持尽可能长的共同前缀，变化限制在尽可能短的后缀上。

例1：生成字母abc的全排列

abc的下一个序列是acb（后继比前驱大一点），acb的下一个序列是bac，bac的下一个序列是bca，bca的下一个序列是cab，cab的下一个序列是cba。如下图：

例2：生成123的全排列

如下图所示：

基本思想：123从右向左扫描，找到第一次下降的位置，3到2下降，则交换3，2，形成132，同理扫描132，3到1下降，找后缀中比当前位置大的最小数2和1交换，形成231，要保证后缀最小则需要3，1再次交换，得到213，依次类推得到从右向左扫描依次递增的序列321，得到所有全排列的结果。如下图所示

例3：生成839647521的全排列

产生839647521在字典序中的下一个排列是839651247，推理过程如下图所示。

3.思考：局部连续变化

通过字典序法，后缀变化较多，怎样通过微小变化得到下一个排列？

三 SJT算法（Steinhaus–Johnson–Trotter algorithm）

1. 引出思路

因为递归方法，每次产生新的排列总是局部的变化，三维空间来看轨迹连续，如下图所示：

从递归的思路出发，由{1,2,3}\{1,2,3\}{1,2,3}全排列得到{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}{1,2,3,4}全排列，如下图

不难发现：

数字具有移动的方向每次交换两个相邻的数字最大的能移动的数字发生交换

2. 可移动数(mobile integer)：

{1,2,3…n}\{1,2,3\dots n\}{1,2,3…n}每个数具有一定的移动方向。
如果该数的方向指向的相邻数比该数小的话则称该数是可移动数。

例如：263154按图中指向，可移动数为6 3 5.

3. SJT算法

思路：4按照箭头指向为最大可移动数，依次与3 2 1进行交换至最左端得到4 1 2 3，此时不可移动，按照指向3为最大可移动数，与2交换得到4 1 3 2，箭头指向改变，4重新变为最大可移动数，依次移动到最右端，得到1 3 2 4，以此类推，得到最终的全排列。

四程序支持与STIRLING数

1. 程序支持

java:

算法介绍：

学术界：

常用排列生成工具

#include \<algorithm>
bool next_permutation(iterator start,iterator end);
bool prev_permutation(iterator start,iterator end);

实际上一般情况下n！的数量级是非常可怕的。

2. stirling数

未使用n!n!n!的累乘的方法，而是用近似的解析方法能够近似的逼近n!n!n!。

以60为例:

60个字符的全排列，按照计算机每秒生成10710^7107个排列的计算机需要的时间是多少？
T=60!/(365×24×3600×107)=2.65×1067年T=60!/(365×24×3600×10^7)=2.65×10^67年T=60!/(365×24×3600×107)=2.65×1067年
所以，n!n!n!增长速度非常快。

3.思考：更快更好的全排列生成算法？

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