全排列的算法（八）—

全排列的生成算法（八)——序数法

n个元素的全排列有n!个，如果将排列按顺序编号，并能够按照某种方法建立起每一个序号与一个排列之间的对应关系，那么就可以根据序号确定排列，反过来也可以根据排列确定它的序号。根据排列的序号生成对应排列的方法就称为序数法。

通常，我们使用的计数法是十进制数。十进制数的位权是10，也就是逢十进一。另外还有二进制、八进制和十六进制等，它们的位权分别是2、8和16。

排列数与n!的阶乘密切相关，因此可以用一种阶乘进制数来建立排列与它的序号的对应关系。阶乘进制数用0！、1！、2！、……分别作为（从右向左的）第一位、第二位、……的位权，显然这是一种可变的位权。举例来说，一个多位数123，如果是十进制，它的大小是3×100+2×101+1×102=(123)10，就是一百二十三。如果是八进制，就是(123)8=3×80+2×81+1×82=(83)10，就是十进制的83。如果是阶乘进制，它就是3×0！+2×1!+1×2!=(8)10，即十进制的8。

某一个n阶排列的序号是m，那么将m转换为阶乘进制数后，阶乘进制数的第i位就是在i右面比i小的元素个数。例如4阶排列中（从0开始计数的）第19个排列的序号是19，将19转换成阶乘进制数是3010，那么，第一位是0，表明1的右面没有比1小的元素，而第二位是1，则2的右面有一个元素小于2，第三位是0，即3的右面没有比它小的元素，第四位是3，4的右面有3个元素小于它。显然，这个排列是4 2 1 3。

序数法生成全排列的算法如下：

第一步：将排列的序号m转换成阶乘进制数

第二步：根据阶乘进制数的各位数值将元素1、2、……、n赋给数组p的相应元素。

在第一步中，从十进制数转换成阶乘进制数，步骤与一般十进制装换成其他进制数相同，也就是用欲转换的数制的位权除十进制数取余数。

第二步中则与递增进位法相同，将数字n、n-1、……、1填入n个空格的相应位置。

具体算法如下：

//全排列的序数法

//输入：排列元素个数n

//输出：全体排列

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

Void perm(int);

Void output(int *,int);

int total;

int main(void)

{

freopen("in.dat","r",stdin);

int n;

while(cin>>n)

{

total=0;

perm(n);

}

return 0;

}

void output(int *p,int n)

{

cout<<setw(4)<<++total<<": ";

for(int i=0;i<n;i++)

cout<<setw(3)<<p[i];

cout<<endl;

}

void perm(int n)

{

int i,j,k,m,s;

int *p=new int[n],*q=new int[n];

fill_n(q,n,0); //初始化

m=0; //原始排列序号

while(1)

{

fill_n(p,n,0); //数组初始化

for(i=0;i<n;i++) //按阶乘进制数各位的值安排各元素位置

for(j=n-1,k=0;j>=0;j--) //从n开始

{

if(p[j])

continue;

if(k==q[i])

{

p[j]=n-i;

break;

}

k++;

}

output(p,n); //输出一个排列

s=++m; //下一个排列的序号

for(i=1;i<=n;i++) //将序号转换成阶乘进制数

{

q[n-i]=s%i;

s/=i;

}

for(j=0,k=0;j<n;j++) //如果阶乘进制数各位回到0

k+=q[j];

if(k==0) //结束

break;

}

阶乘的序数转换成阶乘进制数后，也可以按照的增进位方式产生后继（阶乘进制）序数。

现在设置数组q，并用q[i]表示阶乘进制数的第n-i-1位，那么就有0≤q[i]≤i-1。这样，从q[0]=q[1]=……出发，对q[n-2]累加1，并按照q[i-1]=i时进位，就可以数次得到序数0、1、……、n！。同时也可以生成全体n阶排列。

//递增进位序数法

//输入：排列元素个数

//输出：全体n阶全排列

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

void perm(int);

void output(int *,int);

int total;

int main(void)

{

freopen("in.dat","r",stdin);

int n;

while(cin>>n)

{

total=0;

perm(n);

}

return 0;

}

void output(int *p,int n)

{

cout<<setw(5)<<++total<<": ";

for(int i=0;i<n;i++)

cout<<setw(3)<<p[i];

cout<<endl;

}

void perm(int n)

{

int *p=new int[n];

int *q=new int[n]; //阶乘进制数

fill_n(q,n,0); //初始化

int i,j,k;

while(1)

{

fill_n(p,n,0); //初始化

for(i=0;i<n;i++) //按照阶乘进制数各位安排元素位置

for(j=n-1,k=0;j>=0;j--)

{

if(p[j])

continue;

if(k==q[i])

{

p[j]=n-i;

break;

}

k++;

}

output(p,n); //输出一个排列

i=n-2; //计算下一个序数

q[i]++;

while(q[i]>n-i-1 && i>0) //递增进位

q[i--]=0,q[i]++;

if(q[0]==n) //超出n位

break; //结束

}

int main(void)

{

int n=5;

total=0;

perm(n);

return 0;

}

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