1.向量范数

1.1 定义

一个向量范数是一个定义在n维向量空间的实值函数，记为 $\left | \left | * \right | \right |$ ，它对任意向量 x ,y和任意数 $\alpha$ 满足以下三个条件。

非负性 $\left \| x \right \|\geq 0$ 且 $\left \| x \right \|=0$ 当且仅当x=0
齐次性 $\left \| \alpha x \right \|=\left | \alpha \right |\left \| x \right \|$
三角不等式 $\left \| x+y \right \|\leq \left | x \right |+\left | y \right |$

1.2 用MATLAB实现

下面我们用 for 循环来写 1范数，2范数，p范数和最大模范数。在最后，用 matlab 的函数 norm(v,p) 检验误差。

function n=vectornorm(x,normtype,p)
k=length(x);
s=(0);if strcmp(normtype,'L1')for i=1:ks=s+abs(x(i));endn=s;t=norm(x,1);
elseif strcmp(normtype,'L2')for i=1:ks=s+x(i)^2endn=sqrt(s);t=norm(x,2);
elseif strcmp(normtype,'Lp')for i=1:ks=s+x(i)^pendn=s^(1/p);t=norm(x,p);
elseif strcmp(normtype,'Linf')for i=1:kif    s<abs(x(i))s=abs(x(i));endendn=s^(1/p);t=norm(x,inf);
enderr=n-t %误差

我们取向量[ 3,4,5,6,7] 得到如下结果：

2、矩阵范数

2.1 定义

在n阶矩阵集合上的实值函数，对任意的n 阶矩阵A和B与任意数 $\alpha$ ，它满足：

非负性
齐次性
三角不等式
相容性： $\left \| A B \right \|\leq \left \| A \right \|\left \| B \right \|$ ，（仅对 n阶成立）

2.2 用matlab实现

类似的办法我们来写矩阵范数

function n=matrix_norm(x,normtype,~)
a=abs(x);
s=0;
if strcmp(normtype,'L1')s=max(sum(a,1));n=s;t=norm(x,1);
elseif strcmp(normtype,'L2')[~,D]=eig(x'*x); D=diag(D);s=sqrt(max(D)); n=s;t=norm(x,2);
elseif strcmp(normtype,'Linf')s=max(sum(a,2));n=s;t=norm(x,inf);
end
err=n-t

我们输入一个矩阵 A=[1,2,5;-9,0,1;1,2,5]

调用函数，会得到下面的结果可见误差是很小的。

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