常见向量范数和矩阵范数及其MATLAB实现

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1、向量范数

1-范数：，即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。

2-范数：，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。

∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。

-∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。

p-范数：，即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。

2、矩阵范数

1-范数：，列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。

2-范数：，谱范数，即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。

∞-范数：，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。

F-范数：，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。

下面是解释和理解。

1-范数（列和范数）

将矩阵沿列方向取绝对值求和，然后擢选出数值最大的那个值作为1-范数。
比如：

A =1     2     34     5     67     8     9>> norm_1 = norm(A,1)norm_1 =18

第一列求和结果为：|1|+|4|+|7|=12
第二列求和结果为：|2|+|5|+|8|=15
第三列求和结果为：|3|+|6|+|9|=18
里面最大的就是18，因此矩阵A的列和范数为18。

2-范数（最大特征值开方）

这一部分涉及到的我不懂的概念比较多，接下来一一说明。

2-1 共轭转置矩阵

指的是A的共轭转置矩阵，也有这个写法。如果A里面全是实数，那效果就与无二；如果A里面也有复数，则是先对A取共轭（各项实部不变，虚部取相反数），然后再转置，比如：

A =1.0000 + 0.0000i   0.0000 - 2.0000i3.0000 + 0.0000i   0.0000 - 4.0000i>> A'ans =1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i0.0000 + 2.0000i   0.0000 + 4.0000i

在matlab中A’的意思就是求共轭转置矩阵。

2-2 特征值
矩阵A的特征值被定义为：
其中被称为“矩阵A的特征向量”，λ被称为“矩阵A的特征值”。
在matlab中求解矩阵A的特征值方法如下：

A =1     2     34     5     67     8     9>> [V,D] = eig(A)V =-0.2320   -0.7858    0.4082-0.5253   -0.0868   -0.8165-0.8187    0.6123    0.4082D =16.1168         0         00   -1.1168         00         0   -0.0000

矩阵V的每一列都是一个特征向量，D中对应列中的值即与该特征向量相匹配的特征值。以上例V、D第一列为例，此时特征值λ=16.1168，特征向量，用matlab作验证如下：

>> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9]A =1     2     34     5     67     8     9>> v = [-0.2320,-0.5253,-0.8187]'
v =-0.2320-0.5253-0.8187
>> lambda = 16.1168
lambda =16.1168
>> A * v
ans =-3.7387-8.4667-13.1947
>> lambda * v
ans =-3.7391-8.4662-13.1948

可知满足。

2-3 矩阵的2-范数

矩阵的2-范数即对矩阵最大特征值开方，如下：

>> [V,D] = eig(A'*A)V =-0.4082   -0.7767    0.47970.8165   -0.0757    0.5724-0.4082    0.6253    0.6651D =0.0000         0         00    1.1414         00         0  283.8586>> sqrt(283.8586)ans =16.8481

（这里最大特征值为283.8586）

当然，matlab中也有更直接的计算矩阵2-范数的方法，如下：

>> norm_2 = norm(A,2)
norm_2 =16.8481

两种方法计算出的结果是一样的。

∞-范数（行和范数）

和1-范数（列和范数）类似，这里是沿行方向取绝对值求和，将最大的那个值作为矩阵的∞-范数。matlab代码如下：

>> AA =1     2     34     5     67     8     9>> norm(A,inf)ans =24

第一行求和结果为：|1|+|2|+|3|=6
第二行求和结果为：|4|+|5|+|6|=15
第三行求和结果为：|7|+|8|+|9|=24
里面最大的就是24，因此矩阵A的行和范数为24。