Cramer`s Rule 克莱姆法则（克拉默法则）

克莱姆法则 Cramer`s Rule

1.什么是Cramer`s Rule
2.Cramer`s Rule的具体内容
3.Cramer`s Rule的计算效率
4.由伴随矩阵引出Cramer`s Rule
5.Cramer`s Rule的价值
引用：

1.什么是Cramer`s Rule

下面引用百度百科和维基百科的介绍

百度百科：
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer’s Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的

维基百科：
克莱姆法则（英语：Cramer’s rule），又称为克莱姆公式，是一个线性代数中的定理，用行列式来计算出线性等式组中的所有解。这个定理因加百列·克莱姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在计算上，并非最有效率之法，因而在很多条等式的情况中没有广泛应用。不过，这一定理在理论性方面十分有效

上面的介绍，说了几个重点：

是线性代数中的一个定理，关于求解线性方程组的，用行列式来计算出线性等式组中的所有解，适用于变量和方程数目相等的线性方程组。
在计算上，并非最有效率之法；相较于消除法（高斯消元法），具有更高的复杂度。
但是这一定理在理论性方面十分有效。

这是对克莱姆法则的总体评价。

2.Cramer`s Rule的具体内容

n元非齐次线性方程组中：
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮⋯⋮⋯⋮⋯⋮⋯⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} & & & & \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} & & & & \\ \vdots \;\;\cdots\;\;\vdots\;\;\;\cdots\;\;\vdots\;\cdots\;\vdots\;\;\cdots\;\;\;\vdots & & & & \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n} & & & & \\ \end{matrix}\right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮⋯⋮⋯⋮⋯⋮⋯⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn
系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即
D=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣D=\begin{vmatrix} a_{11}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\a_{21}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\a_{n1}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣
若线性方程组的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组有唯一解，其解为
xj=DjD(j=1,2,⋯,n)x_{j}=\frac{D_{j}}{D\;\;} (j=1,2,\cdots,n)xj=DDj(j=1,2,⋯,n)
其中DjD{j}Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。如：
D1=∣b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮bnan2⋯ann∣,D2=∣a11b1⋯a1na21b2⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1bn⋯ann∣,⋯D_{1}=\begin{vmatrix} b_{1}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\b_{2}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\b_{n}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix} , D_{2}=\begin{vmatrix} a_{11}\; \;b_{1}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\a_{21}\; \;b_{2}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\a_{n1}\; \;b_{n}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix} ,\cdots D1=∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮bnan2⋯ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣,D2=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11b1⋯a1na21b2⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1bn⋯ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣,⋯

以上就是克莱姆法则的内容，使用时有如下前提：

n元非齐次线性方程组
- n元：未知数x的个数为n，方程的个数为n
- 非齐次： b1,b2,⋯,bnb_{1},b_{2},\cdots,b_{n}b1,b2,⋯,bn不全为0
- 线性：x的最高次幂为1，即多元一次
系数行列式D≠0D≠0D=0,保证方程解的唯一性

方程的个数和未知数个数不相等的话，系数无法构成行列式DDD

方程组的等式右边的b值全部为0，则行列式Di(i=1,2,...,n)D_{i}(i=1,2,...,n)Di(i=1,2,...,n)都为0

D=0D=0D=0，则xj=DjDx_{j}=\frac{D_{j}}{D\;\;}xj=DDj没有意义

可见，克莱姆法则在使用上有很多的限制。

3.Cramer`s Rule的计算效率

n元非齐次方程组，需要计算的行列式有：

系数行列式DDD
行列式Di(i=1,2,...,n)D_{i}(i=1,2,...,n)Di(i=1,2,...,n)

即n+1个行列式，其渐近的复杂度为O（n·n！）

相较于高斯消元法，克莱姆法则是低效的，实际应用不广泛。

4.由伴随矩阵引出Cramer`s Rule

n元线性方程组可以表示为：
Ax=b\mathbf{Ax} = \mathbf{b}Ax=b
A\mathbf{A}A为方程组的系数矩阵，b\mathbf{b}b为向量(b1,b2,⋯,bn)T(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})^{T}(b1,b2,⋯,bn)T，若D≠0D≠0D=0，则A\mathbf{A}A可逆，由矩阵性质可得，
A−1Ax=A−1b⇒x=A−1b\mathbf{A^{-1}}\mathbf{Ax} = \mathbf{A^{-1}}\mathbf{b}\;\;\Rightarrow\;\;\mathbf{x} = \mathbf{A^{-1}}\mathbf{b}A−1Ax=A−1b⇒x=A−1b

则接下来的关键，就是要求出A−1\mathbf{A}^{-1}A−1，有两种方法：

初等变换法
伴随矩阵法

初等变换法，借助消除法(高斯消元法)，简单高效

伴随矩阵法，计算起来比较复杂，但是可以借此引出克莱姆法则。

设A\mathbf{A}A为n阶矩阵，∣A∣|\mathbf{A}|∣A∣为矩阵A的行列式，A∗\mathbf{A}^{*}A∗为矩阵的伴随矩阵
A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann],∣A∣=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\a_{21}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\a_{n1}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{bmatrix},\;\;\; |\mathbf{A}|=\begin{vmatrix} a_{11}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\a_{21}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\a_{n1}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann⎦⎥⎥⎥⎤,∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A∗=∣A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann∣\mathbf{A}^{*}=\begin{vmatrix} \mathbf{A}_{11}\;\;\mathbf{A}_{21}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{n1} \\\mathbf{A}_{12}\;\;\mathbf{A}_{22}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{n2} \\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\\mathbf{A}_{1n}\;\;\mathbf{A}_{2n}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{nn} \end{vmatrix} A∗=∣∣∣∣∣∣∣∣A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann∣∣∣∣∣∣∣∣
其中Aij(i,j∈1,2,...,n)\mathbf{A}_{ij}(i,j\in1,2,...,n)Aij(i,j∈1,2,...,n)为∣A∣|\mathbf{A}|∣A∣的代数余子式。

由行列式的拉普拉斯展开，可得
∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin|\mathbf{A}|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin

或

∣A∣=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj|\mathbf{A}|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}∣A∣=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj
i,j∈(1,2,⋯,n)i,j\in(1,2,\cdots,n)i,j∈(1,2,⋯,n).

代数余子式在这里有一个特点，一行（或列）的子式与另一行（或列）的代数余子式的乘积之和为零。即：

ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0，（i≠j）a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0，（i \neq j）ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0，（i=j）
a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj=0，（i≠j）a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0，（i \neq j）a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj=0，（i=j）

故而，可推出：
AA∗=A∗A=∣∣A∣0⋯00∣A∣⋯0⋯⋯⋯⋯00⋯∣A∣∣=∣A∣I\mathbf{A}\mathbf{A^{*}}=\mathbf{A^{*}}\mathbf{A}=\begin{vmatrix} \mathbf{|A|}\;\;0\;\;\cdots\;\;0\;\; \\\;\;0\;\;\mathbf{|A|}\cdots\;\;0\;\; \\\cdots\cdots\cdots\cdots \\\;\;0\;\;\;\;0\cdots\;\;\mathbf{|A|} \end{vmatrix}=\mathbf{|A|}\:\mathbf{I} AA∗=A∗A=∣∣∣∣∣∣∣∣∣A∣0⋯00∣A∣⋯0⋯⋯⋯⋯00⋯∣A∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣A∣I
A∗\mathbf{A^{*}}A∗巧妙的地方就在这，被构造出来的按照特定的顺序排列的代数余子式矩阵，跟矩阵A\mathbf{A}A相乘之后，居然能够得到一个标量乘以单位矩阵I\,\mathbf{ I}I，等式两边除以标量∣A∣\mathbf{|A|}∣A∣，得，
AA∗∣A∣=A∗∣A∣A=I⇒A−1=A∗∣A∣\mathbf{A}\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}=\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}\mathbf{A}=\mathbf{I}\;\;\Rightarrow \;\; \mathbf{A^{-1}}=\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}} A∣A∣A∗=∣A∣A∗A=I⇒A−1=∣A∣A∗

从而，
x=A−1b=A∗∣A∣b\mathbf{x} = \mathbf{A^{-1}}\:\mathbf{b}=\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}\:\mathbf{b}x=A−1b=∣A∣A∗b

到了这一步，克莱姆法则的推导就要呼之欲出了
对于方程组来说，系数矩阵的行列式∣A∣=D\mathbf{|A|}=D∣A∣=D，那A∗b\mathbf{\;A^{*}}\:\mathbf{b}A∗b跟D1,D2，⋯,DnD_{1},D_{2}，\cdots,D_{n}D1,D2，⋯,Dn又有什么关系呢？
如下：

A∗=∣A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann∣,b=[b1b2⋮bn]⇒A∗b=[b1A11+b2A21+⋯+bnAn1b1A12+b2A22+⋯+bnAn2⋯b1A1n+b2A2n+⋯+bnAnn]\mathbf{A}^{*}=\begin{vmatrix} \mathbf{A}_{11}\;\;\mathbf{A}_{21}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{n1} \\\mathbf{A}_{12}\;\;\mathbf{A}_{22}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{n2} \\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\\mathbf{A}_{1n}\;\;\mathbf{A}_{2n}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{nn} \end{vmatrix}, \mathbf{b}=\begin{bmatrix} b_{1} \\b_{2} \\\vdots \\b_{n} \end{bmatrix} \Rightarrow \mathbf{A}^{*}\mathbf{b}=\begin{bmatrix} b_{1}\mathbf{A_{11}}+b_{2}\mathbf{A_{21}}+\cdots+b_{n}\mathbf{A_{n1}} \\b_{1}\mathbf{A_{12}}+b_{2}\mathbf{A_{22}}+\cdots+b_{n}\mathbf{A_{n2}} \\\cdots \\b_{1}\mathbf{A_{1n}}+b_{2}\mathbf{A_{2n}}+\cdots+b_{n}\mathbf{A_{nn}} \end{bmatrix} A∗=∣∣∣∣∣∣∣∣A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann∣∣∣∣∣∣∣∣,b=⎣⎢⎢⎢⎡b1b2⋮bn⎦⎥⎥⎥⎤⇒A∗b=⎣⎢⎢⎡b1A11+b2A21+⋯+bnAn1b1A12+b2A22+⋯+bnAn2⋯b1A1n+b2A2n+⋯+bnAnn⎦⎥⎥⎤
而，
b1A11+b2A21+⋯+bnAn1=∣b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮bnan2⋯ann∣=D1b_{1}\mathbf{A_{11}}+b_{2}\mathbf{A_{21}}+\cdots+b_{n}\mathbf{A_{n1}}=\begin{vmatrix} b_{1}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\b_{2}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\b_{n}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix}=D_{1} b1A11+b2A21+⋯+bnAn1=∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮bnan2⋯ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=D1
故，
A∗b=[D1D2⋮Dn]\mathbf{A}^{*}\mathbf{b}=\begin{bmatrix} D_{1} \\D_{2} \\\vdots \\D_{n} \end{bmatrix}A∗b=⎣⎢⎢⎢⎡D1D2⋮Dn⎦⎥⎥⎥⎤
代入x=A∗∣A∣b\mathbf{x} =\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}\:\mathbf{b}x=∣A∣A∗b中，得，

x=[x1x2⋮xn]=1D[D1D2⋮Dn]=A∗∣A∣b\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{n} \end{bmatrix}=\frac{1}{D}\begin{bmatrix} D_{1} \\D_{2} \\\vdots \\D_{n} \end{bmatrix}=\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}\:\mathbf{b} x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤=D1⎣⎢⎢⎢⎡D1D2⋮Dn⎦⎥⎥⎥⎤=∣A∣A∗b

最后可得：
x1=D1D,x2=D2D,⋯,xn=DnDx_{1}=\frac{D_{1}}{D\;\;} ,x_{2}=\frac{D_{2}}{D\;\;},\cdots,x_{n}=\frac{D_{n}}{D\;\;}x1=DD1,x2=DD2,⋯,xn=DDn
由此，可得到克莱姆法则的表达式

由伴随矩阵得到了逆矩阵，也由伴随矩阵推导出了克莱姆法则

5.Cramer`s Rule的价值

研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系。
与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用。

先考虑两条等式F(x,y,u,v)=0F(x, y, u, v) = 0\,F(x,y,u,v)=0和G(x,y,u,v)=0G(x, y, u, v) = 0\,G(x,y,u,v)=0。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我们可定义x=X(u,v)x = X(u, v)\,x=X(u,v)和y=Y(u,v)y = Y(u, v)\,y=Y(u,v)。

找出一条等式适合∂x/∂u\partial x/\partial u∂x/∂u是克莱姆法则的简单应用。

首先，我们要计算FFF、GGG、xxx和yyy的导数：

dF=∂F∂xdx+∂F∂ydy+∂F∂udu+∂F∂vdv=0dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0dF=∂x∂Fdx+∂y∂Fdy+∂u∂Fdu+∂v∂Fdv=0
dG=∂G∂xdx+∂G∂ydy+∂G∂udu+∂G∂vdv=0dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0dG=∂x∂Gdx+∂y∂Gdy+∂u∂Gdu+∂v∂Gdv=0
dx=∂X∂udu+∂X∂vdvdx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dvdx=∂u∂Xdu+∂v∂Xdv
dy=∂Y∂udu+∂Y∂vdvdy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dvdy=∂u∂Ydu+∂v∂Ydv

将dxdxdx和dydydy代入dFdFdF和dGdGdG，可得出：

dF=(∂F∂x∂x∂u+∂F∂y∂y∂u+∂F∂u)du+(∂F∂x∂x∂v+∂F∂y∂y∂v+∂F∂v)dv=0dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0dF=(∂x∂F∂u∂x+∂y∂F∂u∂y+∂u∂F)du+(∂x∂F∂v∂x+∂y∂F∂v∂y+∂v∂F)dv=0

dG=(∂G∂x∂x∂u+∂G∂y∂y∂u+∂G∂u)du+(∂G∂x∂x∂v+∂G∂y∂y∂v+∂G∂v)dv=0dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0dG=(∂x∂G∂u∂x+∂y∂G∂u∂y+∂u∂G)du+(∂x∂G∂v∂x+∂y∂G∂v∂y+∂v∂G)dv=0
因为uuu和vvv互不相关，所以dududu和dvdvdv的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：

∂F∂x∂x∂u+∂F∂y∂y∂u=−∂F∂u\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}∂x∂F∂u∂x+∂y∂F∂u∂y=−∂u∂F

∂G∂x∂x∂u+∂G∂y∂y∂u=−∂G∂u\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}∂x∂G∂u∂x+∂y∂G∂u∂y=−∂u∂G

∂F∂x∂x∂v+∂F∂y∂y∂v=−∂F∂v\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}∂x∂F∂v∂x+∂y∂F∂v∂y=−∂v∂F

∂G∂x∂x∂v+∂G∂y∂y∂v=−∂G∂v\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}∂x∂G∂v∂x+∂y∂G∂v∂y=−∂v∂G

现在用克莱姆法则就可得到：

∂x∂u=∣−∂F∂u∂F∂y−∂G∂u∂G∂y∣∣∂F∂x∂F∂y∂G∂x∂G∂y∣\cfrac{\partial x}{\partial u} = \cfrac{\begin{vmatrix} -\cfrac{\partial F}{\partial u} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ -\cfrac{\partial G}{\partial u} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cfrac{\partial F}{\partial x} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ \cfrac{\partial G}{\partial x} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}∂u∂x=∣∣∣∣∣∣∣∣∂x∂F∂x∂G∂y∂F∂y∂G∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−∂u∂F−∂u∂G∂y∂F∂y∂G∣∣∣∣∣∣∣∣
用两个雅可比矩阵来表示的方程：

∂x∂u=−(∂(F,G)∂(y,u))(∂(F,G)∂(x,y))\cfrac{\partial x}{\partial u} = - \cfrac{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}∂u∂x=−(∂(x,y)∂(F,G))(∂(y,u)∂(F,G))
用类似的方法就可以找到∂x∂v\frac{\partial x}{\partial v}∂v∂x、∂y∂u\frac{\partial y}{\partial u}∂u∂y以及∂y∂v\frac{\partial y}{\partial v}∂v∂y。

引用：

1.百度百科: 克莱姆法则.
2.维基百科: 克莱姆法则.