茆诗松等《高等数理统计（第二版）》例 1.28 的错误及改正

错误

可以看到, 茆诗松等《高等数理统计（第二版）》例 1.28 中, 统计量 TnT_nTn 对应的原结构分布族并不是正态分布族 {N(0,σ2),σ∈R+}\{N(0,\sigma^2), \sigma\in R^+\}{N(0,σ2),σ∈R+}, 而是重复抽样结构的分布族 {N(0,σ2),σ∈R+}n\{N(0,\sigma^2), \sigma\in R^+\}^n{N(0,σ2),σ∈R+}n, 所以 {N(0,σ2),σ∈R+}\{N(0,\sigma^2), \sigma\in R^+\}{N(0,σ2),σ∈R+} 是否完备与 TnT_nTn 是否为完备统计量没有关系.
例如，茆诗松等《高等数理统计（第二版）》例 1.26 证明了 {N(μ,1),μ∈R}\{N(\mu,1), \mu\in R\}{N(μ,1),μ∈R} 是完备的，但是对取自正态总体 N(μ,1)N(\mu,1)N(μ,1) 的一个样本 X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_nX1,⋯,Xn, 我们不能由此直接得出任意形式的统计量 Tn=Tn(X1,⋯,Xn)T_n=T_n(X_1,\cdots,X_n)Tn=Tn(X1,⋯,Xn) 都是完备统计量，因为 Tn=Tn(X1,⋯,Xn)T_n=T_n(X_1,\cdots,X_n)Tn=Tn(X1,⋯,Xn) 对应的原结构分布族是 {N(μ,1),μ∈R}n\{N(\mu,1), \mu\in R\}^n{N(μ,1),μ∈R}n, 并由韦博成《参数统计教程》例 2.2.6 知重复抽样结构都是不完备的, 此时要说明统计量是否完备, 只能证明统计量诱导结构是否完备, 而无法通过原结构的完备性导出统计量的完备性.

改正

要说明 “诱导结构是完备的, 而原结构是不完备的” 这种情况可能发生, 更恰到的例子应该如韦博成《参数统计教程》例 2.2.7 或例 2.2.8, 即我们可以对茆诗松等《高等数理统计（第二版）》例 1.28 作如下两种修改:
（1）仅将统计量改为 T=T(X)=X2T=T(X)=X^2T=T(X)=X2, 其中 XXX 是取自正态总体 N(0,σ2)N(0,\sigma^2)N(0,σ2) 的一个样本量为 1 的样本;

（2）把 {N(0,σ2),σ∈R+}\{N(0,\sigma^2), \sigma\in R^+\}{N(0,σ2),σ∈R+} 不完备改为重复抽样结构的分布族 {N(0,σ2),σ∈R+}n\{N(0,\sigma^2), \sigma\in R^+\}^n{N(0,σ2),σ∈R+}n 不完备, 统计量不变.

上述两种改正方案选其一即可说明诱导结构是完备的, 而原结构可能是不完备的.

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