抽象代数 01.06 变换群与置换群

http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》

§1.6 变换群与置换群\color{blue} \text{\S 1.6 变换群与置换群}§1.6 变换群与置换群

变换群在历史上和理论上都有重要意义。人们研究群，最早是从研究变换群中的置换群开始的。本节将证明，任一个群与某一个变换群同构。§1.2\text{\S 1.2}§1.2例6中曾提到全变换群的概念。
定义1.6.1设A是非空集合,A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群,{\color{blue}定义1.6.1\quad}设A是非空集合,A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群,定义1.6.1设A是非空集合,A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群,
称为A的全变换群,记为{SA;⋅},简记为SA.SA的一个子群称为A的一个变换群.称为A的{\color{blue}全变换群},记为\lbrace S_A;\cdot \rbrace,简记为S_A.S_A的一个子群称为A的一个{\color{blue}变换群}.称为A的全变换群,记为{SA;⋅},简记为SA.SA的一个子群称为A的一个变换群.
当A为含有n个元素的有限集时,SA也叫做n元对称群,也记作Sn.Sn中的一个元当A为含有n个元素的有限集时,S_A也叫做{\color{blue}n元对称群},也记作S_n.S_n中的一个元当A为含有n个元素的有限集时,SA也叫做n元对称群,也记作Sn.Sn中的一个元
素称为一个n元置换.SA的一个子群称为一个n元置换群.素称为一个{\color{blue}n元置换}.S_A的一个子群称为一个{\color{blue}n元置换群}.素称为一个n元置换.SA的一个子群称为一个n元置换群.
例1设A是整个平面上所有点的集合,在平面上建立直角坐标系.记Rθ是平面绕原{\color{blue}例1\quad}设A是整个平面上所有点的集合,在平面上建立直角坐标系.记R_{\theta}是平面绕原例1设A是整个平面上所有点的集合,在平面上建立直角坐标系.记Rθ是平面绕原
点按逆时针方向旋转θ角的变换,H={Rθ∣0≤θ<2π},则H是A的一个变换群.点按逆时针方向旋转\theta角的变换,H = \lbrace R_{\theta}|0 \leq \theta < 2\pi \rbrace,则H是A的一个变换群.点按逆时针方向旋转θ角的变换,H={Rθ∣0≤θ<2π},则H是A的一个变换群.
定理1.6.1(凯莱(Cayley)定理)任何一个群都与一个变换群同构.{\color{blue}定理1.6.1(凯莱(Cayley)定理)\quad}{\color{green}任何一个群都与一个变换群同构.}定理1.6.1(凯莱(Cayley)定理)任何一个群都与一个变换群同构.
证:设G是一个群.∀a∈G,令ϕa:G→G.{\color{blue}证:}设G是一个群.\forall a \in G,令\phi_a:G \to G.证:设G是一个群.∀a∈G,令ϕa:G→G.
ϕa(g)=ag,∀g∈G.\qquad \phi_a(g) = ag, \forall g \in G.ϕa(g)=ag,∀g∈G.
则因∀g∈G,有a−1g∈G,而ϕa(a−1g)=g,故ϕa是G到自身的满射.则因\forall g \in G,有a^{-1}g \in G,而\phi_a(a^{-1}g) = g,故\phi_a是G到自身的满射.则因∀g∈G,有a−1g∈G,而ϕa(a−1g)=g,故ϕa是G到自身的满射.
又若ϕa(g1)=ϕa(g2),即ag1=ag2,由群中消去律知g1=g2,所以ϕa还是单射,又若\phi_a(g_1) = \phi_a(g_2),即ag_1 = ag_2,由群中消去律知g_1=g_2,所以\phi_a还是单射,又若ϕa(g1)=ϕa(g2),即ag1=ag2,由群中消去律知g1=g2,所以ϕa还是单射,
从而ϕa是双射,即G是自身的可逆映射,故ϕa∈SG.从而\phi_a是双射,即G是自身的可逆映射,故\phi_a \in S_G.从而ϕa是双射,即G是自身的可逆映射,故ϕa∈SG.
令T={ϕa∣a∈G}⊆SG.注意到(ϕb)−1=ϕb−1,ϕa⋅ϕb−1=ϕab−1∈T,令T=\lbrace \phi_a | a \in G \rbrace \subseteq S_G.注意到(\phi_b)^{-1}=\phi_{b^{-1}},\phi_a \cdot \phi_{b^{-1}} = \phi_{ab^{-1}} \in T,令T={ϕa∣a∈G}⊆SG.注意到(ϕb)−1=ϕb−1,ϕa⋅ϕb−1=ϕab−1∈T,
据定理1.3.1知T<SG,即T是G的一个变换群.据定理1.3.1知 T < S_G,即T是G的一个变换群.据定理1.3.1知T<SG,即T是G的一个变换群.
再令f:G→T,f(a)=ϕa,∀a∈G.再令 f:G \to T,f(a) = \phi_a,\forall a \in G.再令f:G→T,f(a)=ϕa,∀a∈G.
则f是G到T的满射,又若ϕa=ϕb,a,b∈G,则ϕa(e)=ϕb(e),即ae=be,则f是G到T的满射,又若\phi_a = \phi_b,a,b \in G,则\phi_a(e) = \phi_b(e),即ae=be,则f是G到T的满射,又若ϕa=ϕb,a,b∈G,则ϕa(e)=ϕb(e),即ae=be,
所以a=b,故f还是单射,从而f是双射.又所以a=b,故f还是单射,从而f是双射.又所以a=b,故f还是单射,从而f是双射.又
f(ab)=ϕab=ϕa⋅ϕb=f(a)⋅f(b),∀a,b∈G.\quad f(ab) = \phi_{ab} = \phi_a \cdot \phi_b = f(a) \cdot f(b), \forall a, b \in G.f(ab)=ϕab=ϕa⋅ϕb=f(a)⋅f(b),∀a,b∈G.
所以f还是群同态.于是f是群G到群T的同构,便有G≃T.所以f还是群同态.于是f是群G到群T的同构,便有G \simeq T.所以f还是群同态.于是f是群G到群T的同构,便有G≃T.
证明中的ϕa称为群G中由a决定的左平移变换.证明中的\phi_a称为群G中由a决定的{\color{blue}左平移变换}.证明中的ϕa称为群G中由a决定的左平移变换.
类似地,还有由a决定的右平移变换:类似地,还有由a决定的{\color{blue}右平移变换}:类似地,还有由a决定的右平移变换:
ψa(g)=ga,∀g∈G.\qquad \psi_a(g) = ga, \forall g \in G.ψa(g)=ga,∀g∈G.
推论1.6.2任一有限群都与一个置换群同构.{\color{blue}推论1.6.2 \quad}{\color{green}任一有限群都与一个置换群同构.}推论1.6.2任一有限群都与一个置换群同构.
凯莱定理使我们可以将群的研究归结为对变换群的研究，对有限群的研究归结为对置换群的研究。
若σ∈Sn,则σ称为一个n元置换,通常表示为若\sigma \in S_n,则\sigma 称为一个n元置换,通常表示为若σ∈Sn,则σ称为一个n元置换,通常表示为
σ=(12⋯ni1i2⋯in).\qquad \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix}.σ=(1i12i2⋯⋯nin).
它的含义是σ(1)=i1,σ(2)=i2,⋯ ,σ(n)=in.由于σ是双射,所以i1,i2,它的含义是\sigma(1) = i_1, \sigma(2) = i_2, \cdots, \sigma(n) = i_n.由于\sigma 是双射,所以i_1,i_2,它的含义是σ(1)=i1,σ(2)=i2,⋯,σ(n)=in.由于σ是双射,所以i1,i2,
⋯ ,in是1,2,⋯ ,n的一个排列.并且不同的排列得到的置换σ也不同.因此,\cdots, i_n是1,2,\cdots,n的一个排列.并且不同的排列得到的置换\sigma也不同.因此,⋯,in是1,2,⋯,n的一个排列.并且不同的排列得到的置换σ也不同.因此,
n元置换的个数,就是1,2,⋯ ,n的所有排列的个数.n元置换的个数,就是1,2,\cdots,n的所有排列的个数.n元置换的个数,就是1,2,⋯,n的所有排列的个数.
命题1.6.3n元对称群Sn的阶为n!.{\color{blue}命题1.6.3\quad}{\color{green}n元对称群S_n的阶为n!.}命题1.6.3n元对称群Sn的阶为n!.
当j1,j2,⋯ ,jn是1,2,⋯ ,n的一个排列时,也可记当j_1,j_2,\cdots,j_n是1,2,\cdots,n的一个排列时,也可记当j1,j2,⋯,jn是1,2,⋯,n的一个排列时,也可记
σ=(j1j2⋯jnσ(j1)σ(j2)⋯σ(jn)).\quad \sigma = \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & \cdots & j_n \\ \sigma(j_1) & \sigma(j_2) & \cdots & \sigma(j_n) \end{pmatrix}.σ=(j1σ(j1)j2σ(j2)⋯⋯jnσ(jn)).
从而,一个n元置换可以有n!种记法.从而,一个n元置换可以有n!种记法.从而,一个n元置换可以有n!种记法.
置换时一种映射，所以，置换的乘法、置换的逆与映射的乘法、映射的逆有类似的表示法。
例2S3中有3!=6个元素:{\color{blue}例2\quad}S_3中有3!=6个元素:例2S3中有3!=6个元素:
(123123),(123132),(123213),(123231),(123312),(123321).\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3& 2 & 1 \end{pmatrix}.(112233),(112332),(122133),(122331),(132132),(132231).
容易看出,S3不是交换群,例如,取容易看出,S_3不是交换群,例如,取容易看出,S3不是交换群,例如,取
f=(123321),φ=(123213).\qquad f = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \varphi = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.f=(132231),φ=(122133).
则则则
φ⋅f=(123213)(123321)=(123312),\quad \varphi \cdot f = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix},φ⋅f=(122133)(132231)=(132132),
f⋅φ=(123321)(123213)=(123231).f \cdot \varphi = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.f⋅φ=(132231)(122133)=(122331).
所以,φ⋅f≠f⋅φ.还可以看出所以,\varphi \cdot f =\not f \cdot \varphi.还可以看出所以,φ⋅f≠f⋅φ.还可以看出
f−1=(321123)=(123321),φ−1=(213123)=(123213).f^{-1} = \begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \varphi^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.f−1=(312213)=(132231),φ−1=(211233)=(122133).
上述表示置换σ\sigmaσ的记号,在括号中写成两列,略显繁琐,又看不出σ\sigmaσ的特点,下面引入轮换的概念和记号,并给出置换的另一种表示法.
定义1.6.2设集合{i1,i2,⋯ ,ir}为集合{1,2,⋯ ,n}的一个子集.若σ∈Sn,满足σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,⋯ ,σ(ir−1)=ir,σ(ir)=i1,及{\color{blue}定义1.6.2\quad}设集合\lbrace i_1,i_2, \cdots, i_r \rbrace为集合\lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace的一个子集.若\sigma \in S_n,满足\sigma(i_1) = i_2, \sigma(i_2) = i_3, \cdots, \sigma(i_{r-1}) = i_r, \sigma(i_r) = i_1,及定义1.6.2设集合{i1,i2,⋯,ir}为集合{1,2,⋯,n}的一个子集.若σ∈Sn,满足σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,⋯,σ(ir−1)=ir,σ(ir)=i1,及
σ(k)=k,∀k∈{1,2,⋯ ,n}−{i1,i2,⋯ ,ir},\quad \sigma(k) = k, \forall k \in \lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace - \lbrace i_1, i_2, \cdots, i_r \rbrace,σ(k)=k,∀k∈{1,2,⋯,n}−{i1,i2,⋯,ir},
则称σ为Sn中的一个r−轮换,或称r−循环置换,记为σ=(i1i2⋯ir).i1,i2,⋯ ,ir均称为轮换σ中的文字,r称为轮换σ的长.则称\sigma为S_n中的一个{\color{blue}r-轮换},或称{\color{blue}r-循环置换},记为\sigma = (i_1i_2\cdots i_r).i_1, i_2, \cdots, i_r均称为轮换\sigma中的{\color{blue}文字},r称为{\color{blue}轮换\sigma的长}.则称σ为Sn中的一个r−轮换,或称r−循环置换,记为σ=(i1i2⋯ir).i1,i2,⋯,ir均称为轮换σ中的文字,r称为轮换σ的长.
特别,2−轮换(ij)称为对换,恒等置换可记为1−轮换.特别,2-轮换(ij)称为{\color{blue}对换},恒等置换可记为1-轮换.特别,2−轮换(ij)称为对换,恒等置换可记为1−轮换.
用轮换的定义和群中元素的阶的定义可证明。
命题1.6.4在Sn中,r−轮换的阶为r.{\color{blue}命题1.6.4\quad}{\color{green}在S_n中,r-轮换的阶为r.}命题1.6.4在Sn中,r−轮换的阶为r.
任一个r−轮换都可以有r种表示法:任一个r-轮换都可以有r种表示法:任一个r−轮换都可以有r种表示法:
σ=(i1i2⋯ir)=(i2i3⋯iri1)=⋯=(iri1⋯ir−1).\sigma=(i_1i_2 \cdots i_r) = (i_2i_3 \cdots i_ri_1) = \cdots = (i_ri_1 \cdots i_{r-1}).σ=(i1i2⋯ir)=(i2i3⋯iri1)=⋯=(iri1⋯ir−1).
定义1.6.3在Sn中,如果若干个轮换间没有共同文字,则称它们是不相交的轮换.{\color{blue}定义1.6.3\quad}在S_n中,如果若干个轮换间没有共同文字,则称它们是{\color{blue}不相交的轮换}.定义1.6.3在Sn中,如果若干个轮换间没有共同文字,则称它们是不相交的轮换.
命题1.6.5在Sn中,两个不相交的轮换的乘积是可交换的.{\color{blue}命题1.6.5\quad}{\color{green}在S_n中,两个不相交的轮换的乘积是可交换的.}命题1.6.5在Sn中,两个不相交的轮换的乘积是可交换的.
命题1.6.6∀σ∈Sn,σ都可表为Sn中一些不相交轮换之积.{\color{blue}命题1.6.6\quad}{\color{green}\forall \sigma \in S_n,\sigma都可表为S_n中一些不相交轮换之积.}命题1.6.6∀σ∈Sn,σ都可表为Sn中一些不相交轮换之积.
证:取a∈{1,2,⋯ ,n},作序列{\color{blue}证:}取a \in \lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace, 作序列证:取a∈{1,2,⋯,n},作序列
a=σ0(a),σ1(a),σ2(a),⋯\qquad a = \sigma^{0}(a), \sigma^{1}(a), \sigma^{2}(a), \cdotsa=σ0(a),σ1(a),σ2(a),⋯
(σ0就是恒等置换id)其中一定包含重复的文字,记σm(a)是第一个与前面相重复的(\sigma^{0}就是恒等置换id)其中一定包含重复的文字,记\sigma^{m}(a)是第一个与前面相重复的(σ0就是恒等置换id)其中一定包含重复的文字,记σm(a)是第一个与前面相重复的
文字,并设它与σk(a)(0≤k<m)重复.可证k=0,因若不然,由σk−1(a)≠σm−1(a),文字,并设它与\sigma^{k}(a)(0 \leq k < m)重复.可证k = 0,因若不然,由\sigma^{k-1}(a) =\not \sigma^{m-1}(a),文字,并设它与σk(a)(0≤k<m)重复.可证k=0,因若不然,由σk−1(a)≠σm−1(a),
及σ(σk−1(a))=σ(σm−1(a)),推出σ把两个不同的文字映到相同的文字,及\sigma(\sigma^{k-1}(a)) = \sigma(\sigma^{m-1}(a)),推出\sigma把两个不同的文字映到相同的文字,及σ(σk−1(a))=σ(σm−1(a)),推出σ把两个不同的文字映到相同的文字,
这与“σ是单射”矛盾.因此k=0,即σm(a)=a.作轮换这与“\sigma是单射”矛盾.因此k = 0,即\sigma^{m}(a) = a.作轮换这与“σ是单射”矛盾.因此k=0,即σm(a)=a.作轮换
σ1=(a,σ(a),⋯ ,σm−1(a)).\qquad \sigma_1 = (a, \sigma(a), \cdots, \sigma^{m-1}(a)).σ1=(a,σ(a),⋯,σm−1(a)).
则σ与σ1在文字a,σ(a),⋯ ,σm−1(a)上的作用相同.则\sigma与\sigma_1在文字a,\sigma(a),\cdots, \sigma^{m-1}(a)上的作用相同.则σ与σ1在文字a,σ(a),⋯,σm−1(a)上的作用相同.
若m=n,则σ=σ1,本身就已表为一个轮换.若m<n,则取b∈{1,2,⋯ ,n}−{a,σ(a),⋯ ,σm−1(a)},仿照上面的方法再作一个轮换若m=n,则\sigma=\sigma_1,本身就已表为一个轮换.若m<n,则取b \in \lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace - \lbrace a,\sigma(a), \cdots, \sigma^{m-1}(a) \rbrace,仿照上面的方法再作一个轮换若m=n,则σ=σ1,本身就已表为一个轮换.若m<n,则取b∈{1,2,⋯,n}−{a,σ(a),⋯,σm−1(a)},仿照上面的方法再作一个轮换
σ2=(b,σ(b),⋯ ,σl−1(b)).\qquad \sigma_2 = (b, \sigma(b), \cdots, \sigma^{l-1}(b)).σ2=(b,σ(b),⋯,σl−1(b)).
则σ与σ2在文字b,σ(b),⋯ ,σl−1(b)上的作用相同.则\sigma与\sigma_2在文字b,\sigma(b),\cdots,\sigma^{l-1}(b)上的作用相同.则σ与σ2在文字b,σ(b),⋯,σl−1(b)上的作用相同.
而且因σ是单射,知σ1与σ2不相交.而且因\sigma是单射,知\sigma_1与\sigma_2不相交.而且因σ是单射,知σ1与σ2不相交.
这样继续下去，直到1,2,⋯ ,n用完为止.这就得到有限个不相交的轮换σ1,σ2,⋯ ,σs使这样继续下去，直到1,2,\cdots,n用完为止.这就得到有限个不相交的轮换\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_s使这样继续下去，直到1,2,⋯,n用完为止.这就得到有限个不相交的轮换σ1,σ2,⋯,σs使
σ=σ1σ2⋯σs.\qquad \sigma = \sigma_1\sigma_2\cdots \sigma_s.σ=σ1σ2⋯σs.
注意到，由于对a,b等选择可以不同,选择的先后也可以不同,所以上述轮换σ1,σ2,⋯ ,注意到，由于对a,b等选择可以不同,选择的先后也可以不同,所以上述轮换\sigma_1,\sigma_2,\cdots,注意到，由于对a,b等选择可以不同,选择的先后也可以不同,所以上述轮换σ1,σ2,⋯,
σs的次序可以不同.但任一文字c所在的轮换是唯一的,即(c,σ(c),σ2(c),⋯ ),虽然形式上\sigma_s的次序可以不同.但任一文字c所在的轮换是唯一的,即(c,\sigma(c),\sigma^{2}(c),\cdots),虽然形式上σs的次序可以不同.但任一文字c所在的轮换是唯一的,即(c,σ(c),σ2(c),⋯),虽然形式上
未必是以c起头.未必是以c起头.未必是以c起头.
命题1.6.7任一n元置换表为不相交轮换的乘积时,如果不计次序,表法是唯一的.{\color{blue}命题1.6.7\quad}{\color{green}任一n元置换表为不相交轮换的乘积时,如果不计次序,表法是唯一的.}命题1.6.7任一n元置换表为不相交轮换的乘积时,如果不计次序,表法是唯一的.
例3(12345671752364)=(1)(274)(35)(6)=(274)(35)=(35)(274).{\color{blue}例3\quad}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 7 & 5 & 2 & 3 & 6 & 4 \end{pmatrix} = (1)(274)(35)(6) = (274)(35) = (35)(274).例3(11273542536674)=(1)(274)(35)(6)=(274)(35)=(35)(274).
后两个等号中,删除了1−轮换(1),(6),效果是一样的,这是因为在轮换的定义1.6.2中,轮换对不出现的文字后两个等号中,删除了1-轮换(1),(6),效果是一样的,这是因为在轮换的定义1.6.2中,轮换对不出现的文字后两个等号中,删除了1−轮换(1),(6),效果是一样的,这是因为在轮换的定义1.6.2中,轮换对不出现的文字
的作用效果,是保持该文字不变.的作用效果,是保持该文字不变.的作用效果,是保持该文字不变.
例4(i1i2⋯ir)=(i1ir)(i1ir−1)⋯(i1i3)(i1i2).{\color{blue}例4\quad}(i_1i_2\cdots i_r)=(i_1i_r)(i_1i_{r-1})\cdots(i_1i_3)(i_1i_2).例4(i1i2⋯ir)=(i1ir)(i1ir−1)⋯(i1i3)(i1i2).
即,任一个r−轮换都可以写成r−1个对换(不一定是不相交的对换)的乘积.即,任一个r-轮换都可以写成r-1个对换(不一定是不相交的对换)的乘积.即,任一个r−轮换都可以写成r−1个对换(不一定是不相交的对换)的乘积.
命题1.6.8任一n元置换都可以表为一些对换的乘积.{\color{blue}命题1.6.8\quad}{\color{green}任一n元置换都可以表为一些对换的乘积.}命题1.6.8任一n元置换都可以表为一些对换的乘积.
一个置换表为对换之乘积的表法是不唯一的,但其中对换个数的奇偶性不变.
定义1.6.4当一个置换能表为奇(偶)数个对换的乘积时,称为奇置换(偶置换).{\color{blue}定义1.6.4\quad}当一个置换能表为奇(偶)数个对换的乘积时,称为{\color{blue}奇置换(偶置换)}.定义1.6.4当一个置换能表为奇(偶)数个对换的乘积时,称为奇置换(偶置换).
命题1.6.9两个偶置换之积是偶置换,两个奇置换之积是偶置换,{\color{blue}命题1.6.9\quad}{\color{green}两个偶置换之积是偶置换,两个奇置换之积是偶置换,}命题1.6.9两个偶置换之积是偶置换,两个奇置换之积是偶置换,
偶置换与奇置换之积是奇置换,奇置换与偶置换之积是奇置换.{\color{green}偶置换与奇置换之积是奇置换,奇置换与偶置换之积是奇置换.}偶置换与奇置换之积是奇置换,奇置换与偶置换之积是奇置换.
偶置换的逆置换是偶置换,奇置换的逆置换是奇置换.{\color{green}偶置换的逆置换是偶置换,奇置换的逆置换是奇置换.}偶置换的逆置换是偶置换,奇置换的逆置换是奇置换.
定义1.6.5n元偶置换的全体对置换的乘法构成一个群,称为n元交错群,记为An.{\color{blue}定义1.6.5\quad}n元偶置换的全体对置换的乘法构成一个群,称为n元{\color{blue}交错群},记为A_n.定义1.6.5n元偶置换的全体对置换的乘法构成一个群,称为n元交错群,记为An.
用正规子群的定义及命题1.6.9容易证明.用正规子群的定义及命题1.6.9容易证明.用正规子群的定义及命题1.6.9容易证明.
命题1.6.10An⊲Sn,∣An∣=n!2.{\color{blue}命题1.6.10\quad}{\color{green}A_n \lhd S_n, |A_n| = \frac{n!}{2}.}命题1.6.10An⊲Sn,∣An∣=2n!.
命题1.6.11设置换σ表为不相交轮换的乘积是{\color{blue}命题1.6.11\quad}{\color{green}设置换\sigma表为不相交轮换的乘积是}命题1.6.11设置换σ表为不相交轮换的乘积是
σ=σ1σ2⋯σs,{\color{green}\qquad \sigma = \sigma_1\sigma_2\cdots \sigma_s,}σ=σ1σ2⋯σs,
这里σi是ri−轮换(i=1,2,⋯ ,s),则作为群Sn中的元素,σ的阶是r1,r2,⋯ ,rs的{\color{green}这里\sigma_i是r_i-轮换(i=1,2,\cdots,s),则作为群S_n中的元素,\sigma的阶是r_1,r_2,\cdots,r_s的}这里σi是ri−轮换(i=1,2,⋯,s),则作为群Sn中的元素,σ的阶是r1,r2,⋯,rs的
最小公倍数[r1,r2,⋯ ,rs].{\color{green}最小公倍数[r_1,r_2,\cdots,r_s].}最小公倍数[r1,r2,⋯,rs].
例5例3中置换的阶为[3,2]=6.{\color{blue}例5\quad}例3中置换的阶为[3,2]=6.例5例3中置换的阶为[3,2]=6.
定义1.6.6群G到自身的同构映射,称为G的一个自同构{\color{blue}定义1.6.6\quad}{\color{green}群G到自身的同构映射,称为G的一个}{\color{blue}自同构}定义1.6.6群G到自身的同构映射,称为G的一个自同构
,群G的全体自同构的集合记为AutG.{\color{green},群G的全体自同构的集合记为{\textsf{Aut}}G.},群G的全体自同构的集合记为AutG.
命题1.6.12设G是群,则AutG<SG,称AutG为群G的自同构群.{\color{blue}命题1.6.12\quad}{\color{green}设G是群,则{\textsf{Aut}}G < S_G,称{\textsf{Aut}G}为}{\color{blue}群G的自同构群}.命题1.6.12设G是群,则AutG<SG,称AutG为群G的自同构群.
证:∀θ1,θ2∈AutG,据同构映射的性质知θ2−1∈AutG,θ1θ2−1∈AutG,再据定理1.3.1知,AutG<SG.{\color{blue}证:}\forall \theta_1,\theta_2 \in {\textsf{Aut}G},据同构映射的性质知\theta_2^{-1} \in {\textsf{Aut}G},\theta_1\theta_2^{-1} \in {\textsf{Aut}G},再据定理1.3.1知,{\textsf{Aut}G} < S_G.证:∀θ1,θ2∈AutG,据同构映射的性质知θ2−1∈AutG,θ1θ2−1∈AutG,再据定理1.3.1知,AutG<SG.
命题1.6.3设G为群,a∈G,定义映射σa:G→G为{\color{blue}命题1.6.3\quad}{\color{green}设G为群,a \in G,定义映射\sigma_a:G \to G为}命题1.6.3设G为群,a∈G,定义映射σa:G→G为
σa(g)=aga−1,∀g∈G.{\color{green}\qquad \sigma_a(g) = aga^{-1},\forall g \in G.}σa(g)=aga−1,∀g∈G.
则σa∈AutG,称为由a决定的内自同构.记{\color{green}则\sigma_a \in {\textsf{Aut}G}, 称为由a决定的}{\color{blue}内自同构}{\color{green}.记}则σa∈AutG,称为由a决定的内自同构.记
InnG={σa∣a∈G},{\color{green}\qquad \textsf{Inn} G = \lbrace \sigma_a | a \in G \rbrace,}InnG={σa∣a∈G},
则InnG⊲AutG,称InnG为G的内自同构群.{\color{green}则{\textsf{Inn}G} \lhd {\textsf{Aut}G},称{\textsf{Inn}G}为G的}{\color{blue}内自同构群.}则InnG⊲AutG,称InnG为G的内自同构群.
证:由σa−1⋅σa(g)=a−1(aga−1)a=g知σa的逆映射是σa−1,从而σa是双射,又{\color{blue}证:}由\sigma_{a^{-1}} \cdot \sigma_a(g) = a^{-1}(aga^{-1})a = g知\sigma_a的逆映射是\sigma_{a^{-1}},从而\sigma_a是双射,又证:由σa−1⋅σa(g)=a−1(aga−1)a=g知σa的逆映射是σa−1,从而σa是双射,又
σa(g1g2)=ag1g2a−1=a1g1a−1ag2a−1=σa(g1)σa(g2),∀g1,g2∈G,\sigma_a(g_1g_2)=ag_1g_2a^{-1}=a_1g_1a^{-1}ag_2a^{-1}=\sigma_a(g_1)\sigma_a(g_2), \forall g_1,g_2 \in G,σa(g1g2)=ag1g2a−1=a1g1a−1ag2a−1=σa(g1)σa(g2),∀g1,g2∈G,
所以σa∈AutG.所以\sigma_a \in {\textsf{Aut}G}.所以σa∈AutG.
∀σa1,σa2∈InnG,考察σa1⋅(σa2)−1在G中任一元g上的作用,有\forall \sigma_{a_1},\sigma_{a_2} \in {\textsf{Inn}G},考察\sigma_{a_1} \cdot (\sigma_{a_2})^{-1}在G中任一元g上的作用,有∀σa1,σa2∈InnG,考察σa1⋅(σa2)−1在G中任一元g上的作用,有
σa1⋅(σa2)−1(g)=σa1σa2−1(g)=σa1(a2−1ga2)=a1(a2−1ga2)a1−1\sigma_{a_1} \cdot (\sigma_{a_2})^{-1}(g) = \sigma_{a_1}\sigma_{a_2^{-1}}(g)=\sigma_{a_1}(a_2^{-1}ga_2)=a_1(a_2^{-1}ga_2)a_1^{-1}σa1⋅(σa2)−1(g)=σa1σa2−1(g)=σa1(a2−1ga2)=a1(a2−1ga2)a1−1
=a1a2−1g(a1a2−1)−1=σa1a2−1(g),\qquad =a_1a_2^{-1}g(a_1a_2^{-1})^{-1}=\sigma_{a_1a_2^{-1}}(g),=a1a2−1g(a1a2−1)−1=σa1a2−1(g),
所以σa1⋅(σa2)−1=σa1a2−1∈InnG,因此据定理1.3.1,InnG<AutG.所以\sigma_{a_1}\cdot (\sigma_{a_2})^{-1}=\sigma_{a_1a_2^{-1}} \in {\textsf{Inn}G},因此据定理1.3.1,{\textsf{Inn}G}<{\textsf{Aut}G}.所以σa1⋅(σa2)−1=σa1a2−1∈InnG,因此据定理1.3.1,InnG<AutG.
又∀θ∈AutG,∀σa∈InnG,我们去证θσaθ−1∈InnG,再据正规子群的定义便证出InnG⊲AutG.又\forall \theta \in {\textsf{Aut}G},\forall \sigma_a \in {\textsf{Inn}G},我们去证\theta \sigma_a \theta^{-1} \in {\textsf{Inn}G},再据正规子群的定义便证出{\textsf{Inn}G} \lhd {\textsf{Aut}G}.又∀θ∈AutG,∀σa∈InnG,我们去证θσaθ−1∈InnG,再据正规子群的定义便证出InnG⊲AutG.
∀g∈G,θσaθ−1(g)=θσa(θ−1(g))=θ(aθ−1(g)a−1)=θ(a)θ(θ−1(g))θ(a−1)=θ(a)g(θ(a)−1=σθ(a)(g).\forall g \in G, \theta \sigma_a \theta^{-1}(g) = \theta \sigma_a(\theta^{-1}(g)) = \theta(a\theta^{-1}(g)a^{-1})=\theta(a)\theta(\theta^{-1}(g))\theta(a^{-1})=\theta(a)g(\theta(a)^{-1}=\sigma_{\theta(a)}(g).∀g∈G,θσaθ−1(g)=θσa(θ−1(g))=θ(aθ−1(g)a−1)=θ(a)θ(θ−1(g))θ(a−1)=θ(a)g(θ(a)−1=σθ(a)(g).
所以θσaθ−1=σθ(a)∈InnG.所以\theta_{\sigma_a}\theta^{-1}=\sigma_{\theta(a)} \in {\textsf{Inn}G}.所以θσaθ−1=σθ(a)∈InnG.
如果我们定义映射f:G→InnG为如果我们定义映射f:G \to {\textsf{Inn}G}为如果我们定义映射f:G→InnG为
f(a)=σa,∀a∈G,\qquad f(a) = \sigma_a, \forall a \in G,f(a)=σa,∀a∈G,
则容易验证f(ab)=σab=σaσb=f(a)f(b),从而f是满同态映射,且则容易验证f(ab) = \sigma_{ab} = \sigma_a\sigma_b = f(a)f(b),从而f是满同态映射,且则容易验证f(ab)=σab=σaσb=f(a)f(b),从而f是满同态映射,且
ker⁡f⊲G,G/ker⁡f≃InnG.\qquad \ker f \lhd G, G/\ker f \simeq {\textsf{Inn}G}.kerf⊲G,G/kerf≃InnG.
∀a∈ker⁡f,因f(a)=id,记σa=id,也即σa(g)=g,∀g∈G,\forall a \in \ker f,因f(a) = id,记\sigma_a = id,也即\sigma_a(g) = g, \forall g \in G,∀a∈kerf,因f(a)=id,记σa=id,也即σa(g)=g,∀g∈G,
也即aga−1=g,∀g∈G,也即ag=ga,∀g∈G.所以也即aga^{-1} = g,\forall g \in G,也即ag = ga,\forall g \in G.所以也即aga−1=g,∀g∈G,也即ag=ga,∀g∈G.所以
ker⁡f={a∈G∣ag=ga,∀g∈G}.\qquad \ker f = \lbrace a \in G | ag = ga, \forall g \in G \rbrace.kerf={a∈G∣ag=ga,∀g∈G}.
定义1.6.7群G中,与G中所有元素可交换的元素的集合称为群G的中心,记为C(G).{\color{blue}定义1.6.7\quad}群G中,与G中所有元素可交换的元素的集合称为{\color{blue}群G的中心},记为\textsf{C}(G).定义1.6.7群G中,与G中所有元素可交换的元素的集合称为群G的中心,记为C(G).
以上讨论说明,C(G)=ker⁡f,G/C(G)≃InnG.以上讨论说明,\textsf{C}(G) = \ker f,G/\textsf{C}(G) \simeq {\textsf{Inn}G}.以上讨论说明,C(G)=kerf,G/C(G)≃InnG.

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