[线性代数]Note2--矩阵消元
第二节介绍矩阵消元的知识.
消元法
首先是给出一个例子来说明消元法的使用,例子如下所示:
\begin{cases} x+2y+z=2 \\ 3x+8y+z=12 \\4y+z=2 \end{cases}
用矩阵表示就是
A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] b = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{matrix} \right]
消元法的步骤首先是方程1乘以某个系数,然后方程2减去它,使得让方程2的x的系数变为0,然后同理让方程3的y的系数变为0。做法如下所示:
⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥⎡⎣⎢2122⎤⎦⎥ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{matrix} \right] =>(方程1乘以3 )⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥⎡⎣⎢262⎤⎦⎥ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix} \right] =>(方程2乘以2) ⎡⎣⎢1002201−25⎤⎦⎥⎡⎣⎢26−10⎤⎦⎥ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{matrix} \right]
这里就得到了
u = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right] c = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{matrix} \right]
当得到矩阵u和c后,就可以进行会代,即如下方程组
\begin{cases} x+2y+z=2 \\ 2y-2z=6 \\5z=-10 \end{cases}
自然就得到答案
\begin{cases} x=2 \\ y=1 \\ z=-2 \end{cases}
这里的矩阵是可逆的,所以可以使用消元法,但是还是存在一些矩阵是不适用于消元法的,比如如果该例子中方程组1的x
系数是0,这个时候需要使用如行交换的方法来得到适合使用消元法的矩阵。
矩阵消元
这里将介绍使用矩阵变换来使用消元法。
第一步
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right]
第一个矩阵称之为初等矩阵,记为E21E_{21},表示修改的是第二行第一列的位置,而保持第一行和第三行不变,实际上是在单位矩阵⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]的基础上进行修改,如果是直接跟单位矩阵相乘,那么就是得到相同的结果,而现在是需要将第二行减去第一行乘以3的结果,而第二行第一列的值乘以的就是第二个方程的第一行的值,然后再相加,实现的效果是一样的。
第二步
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right]
第一个矩阵也是初等矩阵,记为E32E_{32},表示修改的是第三行第二列的位置,而保持第一行和第二行不变。
上述两步可以表示为
E32E_{32}(E21E_{21}A) = u
这里可以使用乘法的结合律,也就是(E32E_{32}E21E_{21}) A= u。
但是注意这里是不适用交换律的。
这里可以求解E32E_{32}E21E_{21}的值,但是老师说可以有更好的方法,就是求逆矩阵。即求让矩阵U变回矩阵A的矩阵。如下所示
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]
三个矩阵分别记为E−1E^{-1},E,I。
(这个求解逆矩阵的方法,暂时还没想明白为什么更好)
置换矩阵
最后老师讲解了一个置换矩阵的知识点,这个和本节课的内容并不太相关。
首先是一个行交换的例子。
\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} c & d \\ a & b \end{matrix} \right]
第一个矩阵就是置换矩阵P,实现对第二个矩阵的行交换。
而如果是列交换,则如下所示
\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix} \right]
这里也说明了矩阵的交换律,即如BA = AB
是不成立的。
总结
这节课讲的是矩阵消元法,还算是比较基础的内容。
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