无线通信基础（一）：高斯随机变量

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1、实高斯随机标量
2、实高斯随机向量
3、复高斯随机向量

1、实高斯随机标量

对于标准正态分布的随机变量w∼N(0,1)w\sim {\mathcal N}(0,1)w∼N(0,1)，其PDF为
p(w)=12πexp⁡(−w22),w∈R.p(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{w^2}{2}),\ w\in {\mathcal R}.p(w)=2π1exp(−2w2), w∈R.
对于一般的正态分布随机变量x=σw+μx=\sigma w+\mux=σw+μ，有x∼N(μ,σ2)x\sim {\mathcal N}(\mu,\sigma^2)x∼N(μ,σ2)，其PDF为
p(x)=12πσ2exp⁡(−(x−μ)22σ2),x∈R.p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}),\ x\in {\mathcal R}.p(x)=2πσ21exp(−2σ2(x−μ)2), x∈R.

Q函数的一种上下界
12πa(1−1a2)e−a2/2<Q(a)<e−a2/2,a>1.\frac{1}{\sqrt{2\pi} a}(1-\frac{1}{a^2}) e^{-a^2/2}<Q(a)<e^{-a^2/2},\quad a>1.2πa1(1−a21)e−a2/2<Q(a)<e−a2/2,a>1.

高斯随机变量的线性组合仍然满足高斯分布，即
Σi=1ncixi∼N(Σi=1nciμi,Σi=1nci2σi2).\Sigma^{n}_{i=1}c_ix_i\sim {\mathcal N}\left(\Sigma^{n}_{i=1}c_i\mu_i,\Sigma^{n}_{i=1}c_i^2\sigma_i^2 \right).Σi=1ncixi∼N(Σi=1nciμi,Σi=1nci2σi2).

2、实高斯随机向量

对于标准正态分布的随机向量w=[w1,w2,…,wn]T{\bf w}=[w_1,w_2,\ldots,w_n]^{\rm T}w=[w1,w2,…,wn]T，其PDF为
p(w)=1(2π)nexp⁡(−∣∣w∣∣22),w∈Rn,p({\bf w})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi })^n}\exp(-\frac{||{\bf w}||^2}{2}),\ w\in {\mathcal R^n},p(w)=(2π)n1exp(−2∣∣w∣∣2), w∈Rn,
其中∣∣w∣∣:=w12+w22+…+wn2||{\bf w}||:=\sqrt{w_1^2+w_2^2+\ldots+w_n^2}∣∣w∣∣:=w12+w22+…+wn2为从原点到w\bf ww的距离。显然，概率密度函数只与向量的幅度有关。

如果w\bf ww为标准正态分布，则Ow\bf OwOw也为标准正态分布。其中O\bf OO为正交变换。这是因为正交变换不改变向量的幅度。这意味着w\bf ww在任何正交基上都满足相同的分布。

nnn个i.i.d.的零均值高斯分布的随机变量的和的平方满足卡方分布，即∣∣w∣∣2∼χn2||{\bf w}||^2\sim \chi^2_n∣∣w∣∣2∼χn2。如果n=2n=2n=2，且a=w12+w22a=w_1^2+w_2^2a=w12+w22，则
f(a)=12exp⁡(−a2),a≥0,f(a)=\frac{1}{2}\exp (-\frac{a}{2}),\quad a\ge 0,f(a)=21exp(−2a),a≥0,
即满足指数分布。

对于高斯分布的随机向量x=Aw+μ{\bf x=Aw+\bm{\mu}}x=Aw+μ，其性质说明如下：

cTx∼N(cTμ,cTAATc)\bf c^{\rm T}\bf x\sim {\mathcal N}(\bf c^{\rm T}\bm \mu,\bf c^{\rm T}\bf A A^{\rm T} c)cTx∼N(cTμ,cTAATc)
p(x)=1(2π)ndet⁡(AAT)exp⁡[−12(x−μ)T(AAT)−1(x−μ)],x∈Rnp({\bf x})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n\sqrt{\det({\bf A A}^{\rm T})}}\exp[-\frac{1}{2}(\bf x- \bm \mu)^{\rm T}{(\bf A A^{\rm T})^{-1}}(\bf x- \bm \mu)],\quad x\in{\mathcal R}^np(x)=(2π)ndet(AAT)1exp[−21(x−μ)T(AAT)−1(x−μ)],x∈Rn
这里
K:=E[(x−μ)(x−μ)T]=AAT{\bf K}:={\rm E}[(\bf x- \bm \mu)(\bf x- \bm \mu)^{\rm T}]={\bf A A^{\rm T}}K:=E[(x−μ)(x−μ)T]=AAT
为x\bf xx的协方差矩阵。
如果A\bf AA为可逆的，则x\bf xx完全由其均值向量μ\rm \muμ及其协方差阵K=AAT{\bf K}=\bf AA^{\rm T}K=AAT来刻画。

3、复高斯随机向量

对于复高斯随机向量x=xR+jxI{\bf x}={\bf x}_R+j{\bf x}_Ix=xR+jxI，有
μ:=E[x]{\bm \mu}:={\rm E}[\bf x] μ:=E[x]
K:=E[(x−μ)(x−μ)H]{\bm K}:={\rm E}[(\bf x-\bm \mu)(\bf x-\bm \mu)^{\rm H}] K:=E[(x−μ)(x−μ)H]
J:=E[(x−μ)(x−μ)T]{\bm J}:={\rm E}[(\bf x-\bm \mu)(\bf x-\bm \mu)^{\rm T}] J:=E[(x−μ)(x−μ)T]
分别为x\bf xx的均值向量、协方差以及伪协方差矩阵。

注意通常来说，K\bf KK不足以刻画x\bf xx的所有二阶特性。事实上，由于K\bf KK为厄米特矩阵，即K=KH\bf K=K^{\rm H}K=KH，其对角线元素为实数，且上下三角阵的元素互为复共轭。因此包含n2n^2n2个实参数。另一方面，x\bf xx的完全二阶特性应该用2n×2n2n\times 2n2n×2n维[xR,xI]T[{\bf x}_R,{\bf x}_I]^{\rm T}[xR,xI]T的协方差矩阵中的n(2n+1)n(2n+1)n(2n+1)个实参数来刻画。

【循环对称性】我们称x\bf xx为循环对称的，如果对于任意的θ\thetaθ都有xejθ{\bf x}e^{j\theta}xejθ与x\bf xx同分布。

对于循环对称复随机向量x\bf xx，有
E[x]=E[ejθx]=ejθE[x]{\rm E}[\bf x]={\rm E}[\bf e^{j\theta}x]=e^{j\theta}{\rm E}[\bf x]E[x]=E[ejθx]=ejθE[x]
对任意的θ\thetaθ均成立，因此μ=E[x]=0{\bm \mu}={\rm E}[\bf x]=0μ=E[x]=0。进一步，
E[xxT]=E[ej2θxxT]=ej2θE[xxT]{\rm E}[{\bf xx}^{\rm T}]={\rm E}[ e^{j2\theta}{\bf xx}^{\rm T}]=e^{j2\theta}{\rm E}[{\bf xx}^{\rm T}]E[xxT]=E[ej2θxxT]=ej2θE[xxT]
对任意的θ\thetaθ均成立，因此J=0{\bf J}={\bf 0}J=0。此时，协方差阵K\bf KK可以完全刻画循环对称复随机向量x\bf xx的一阶以及二阶特性。事实上，如果x\bf xx为高斯分布的，则其协方差阵可以完全刻画其统计特性，此时x∼CN(0,K){\bf x}\sim {\mathcal CN}(0,\bf K)x∼CN(0,K)。
几个特例如下：

（1）对于复高斯随机变量w=wR+jwIw=w_R+jw_Iw=wR+jwI，如果wRw_RwR以及wIw_IwI为i.i.d.的零均值高斯随机变量，则www为循环对称，其统计特性可以用方差σ2:=E[∣w∣2]\sigma^2:={\rm E}[|w|^2]σ2:=E[∣w∣2]来刻画。（需要注意的是，一个非循环对称的高斯随机变量需要用五个实参数来刻画，即实部和虚部的均值以及方差，还有实部虚部的相关值。）这里∣∣w∣∣2||\bf w||^2∣∣w∣∣2满足指数分布，∣∣w∣∣||\bf w||∣∣w∣∣满足瑞利分布，w\bf ww的相位在[0,2π][0,2\pi][0,2π]上均匀分布。
（2）nnn个i.i.d.满足CN(o0,1){\mathcal CN}(o0,1)CN(o0,1)分布的随机变量组成标准循环对称高斯随机向量w∼CN(0,I)\bf w\sim {\mathcal CN}(\bf 0,I)w∼CN(0,I)，其PDF为
p(w)=1πnexp⁡(−∣∣w∣∣2),∈Cn.p({\bf w)}=\frac{1}{\pi^n}\exp(-||w||^2),\quad \bf\in \mathcal{C}^n. p(w)=πn1exp(−∣∣w∣∣2),∈Cn.
若U\bf UU为酉矩阵，则Uw\bf UwUw与w\bf ww同分布。