文章目录

简介
1. 算法原理
2. 算法流程
- 2.1 初始化种群
- 2.2 变异
- 2.3 交叉
- 2.4 选择
3. 算法代码
- 3.1 伪代码
- 3.2 matlab
4. 参数控制[^1]
- 4.1 参数说明
- 4.2 参数选择
5. 改进方法[^1]
- 5.1 自适应变异算子

简介

差分进化算法(Differential Evolution，DE)由Storn和Price于1995年首次提出。主要用于求解实数优化问题。该算法是一类基于群体的自适应全局优化算法，属于演化算法的一种，由于其具有结构简单、容易实现、收敛快速、鲁棒性强等特点，因而被广泛应用在数据挖掘、模式识别、数字滤波器设计、人工神经网络、电磁学等各个领域。1996年在日本名古屋举行的第一届国际演化计算(ICEO)竞赛中，差分进化算法被证明是速度最快的进化算法。

1. 算法原理

DE算法通过采用浮点矢量进行编码生成种群个体。在DE算法寻优的过程中，首先，从父代个体间选择两个个体进行向量做差生成差分矢量;其次，选择另外一个个体与差分矢量求和生成实验个体;然后，对父代个体与相应的实验个体进行交叉操作，生成新的子代个体;最后在父代个体和子代个体之间进行选择操作，将符合要求的个体保存到下一代群体中去。

2. 算法流程

假设优化模型如下：
min⁡f(x1,x2,⋯,xD)s.t xjL⩽xj⩽xjU,j=1,2,⋯,D\begin{array}{l}{\min f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{D}\right)} \\ {\text { s.t } \quad x_{j}^{L} \leqslant x_{j} \leqslant x_{j}^{U}, j=1,2, \cdots, D}\end{array} minf(x1,x2,⋯,xD) s.t xjL⩽xj⩽xjU,j=1,2,⋯,D
wherewherewhere，D是解空间的维度，xjLx_{j}^{L}xjL、xjUx_{j}^{U}xjU分别表示第j个分量xjx_{j}xj取值范围的上界和下界。

2.1 初始化种群

初始化种群为： {xi(0)∣xj,iL⩽xj,i(0)⩽xj,iv,i=1,2,⋯,NP;j=1,2,⋯,D}\left\{x_{i}(0) | x_{j, i}^{L} \leqslant x_{j, i}(0)\leqslant x_{j, i}^{v}, i=1,2, \cdots, N P ; j=1,2, \cdots, D\right\}{xi(0)∣xj,iL⩽xj,i(0)⩽xj,iv,i=1,2,⋯,NP;j=1,2,⋯,D}
由下式随机生成各种群个体：
xj,i(0)=xj,iL+rand(0,1)⋅(xj,iU−xj,iL)x_{j, i}(0)=x_{j, i}^{L}+{rand}(0,1) \cdot\left(x_{j, i}^{U}-x_{j, i}^{L}\right) xj,i(0)=xj,iL+rand(0,1)⋅(xj,iU−xj,iL)
wherewherewhere，xi(0)x_{i}(0)xi(0)表示种群中第0代的第i个个体，xj,i(0)x_{j, i}(0)xj,i(0)表示第0代的第i个个体的第j个基因。NP表示种群大小，rand(0,1){rand}(0,1)rand(0,1)表示在（0，1）区间均匀分布的随机数。

2.2 变异

差分进化算法与遗传算法最显著的区别在于DE的个体变异是通过差分策略实现的。

常用的差分策略如下：
νi(g+1)=xi1(g)+F⋅(xi(g)−xij(g))i≠r1≠r2≠r3\begin{array}{c}{\nu_{i}(g+1)=x_{i_{1}}(g)+F \cdot\left(x_{i}(g)-x_{i j}(g)\right)} \\ {i \neq r_{1} \neq r_{2} \neq r_{3}}\end{array} νi(g+1)=xi1(g)+F⋅(xi(g)−xij(g))i=r1=r2=r3

wherewherewhere，F{F}F为缩放因子，xi(g)x_{i}(g)xi(g)为第g代种群中第i个个体。

即通过随机选取种群中两个不同的个体，将其向量差缩放后与待变异个体进行向量合成。

在进化过程中，必须保证新生成的解的有效性，因此必须判断生成的解是否满足边界条件，如果不满足，则需要重新生成（生成方案与初始种群相同）。

第g代种群：{xi(g)∣xj,iL⩽xj,i(g)⩽xj,iv,i=1,2,⋯,NP;j=1,2,⋯,D}\left\{x_{i}(g) | x_{j, i}^{L} \leqslant x_{j, i}(g)\leqslant x_{j, i}^{v}, i=1,2, \cdots, N P ; j=1,2, \cdots, D\right\}{xi(g)∣xj,iL⩽xj,i(g)⩽xj,iv,i=1,2,⋯,NP;j=1,2,⋯,D}
变异后的中间体：第g代种群：{xi(g+1)∣xj,iL⩽xj,i(g+1)⩽xj,iv,i=1,2,⋯,NP;j=1,2,⋯,D}\left\{x_{i}(g+1) | x_{j, i}^{L} \leqslant x_{j, i}(g+1)\leqslant x_{j, i}^{v}, i=1,2, \cdots, N P ; j=1,2, \cdots, D\right\}{xi(g+1)∣xj,iL⩽xj,i(g+1)⩽xj,iv,i=1,2,⋯,NP;j=1,2,⋯,D}

2.3 交叉

使用第g代种群和其变异中间体进行交叉：

uj,i(g+1)={vj,i(g+1),if rand⁡(0,1)⩽CRor j=jrandxj,i(g),otherwise \begin{aligned} u_{j, i}(g+1) =\left\{\begin{array}{ll}{v_{j, i}(g+1),} & {\text { if } \operatorname{rand}(0,1) \leqslant C R \text { or } j=j_{\text {rand}}} \\ {x_{j, i}(g),} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.\end{aligned} uj,i(g+1)={vj,i(g+1),xj,i(g), if rand(0,1)⩽CR or j=jrand otherwise
wherewherewhere，CR为交叉概率，jrandj_{rand}jrand为[1,2,……,D]的随机整数。

上图为6个基因位的“染色体”或称为“个体”的交叉操作示意图。为了确保变异中间体{vj,i(g+1){v_{j, i}(g+1)}vj,i(g+1)}的每个“染色体”至少有一个“基因”遗传给下一代，第一个交叉操作的基因是随机选择vj,i(g+1){v_{j, i}(g+1)}vj,i(g+1)的第jrandj_{rand}jrand作为交叉后的个体uj,i(g+1)u_{j, i}(g+1)uj,i(g+1)第jrandj_{rand}jrand位的等位基因。后续的交叉操作则是通过交叉概率CR来选取xi(g)x_{i}(g)xi(g)还是vi(g+1)v_{i}(g+1)vi(g+1)的等位基因作为ui(g+1)u_{i}(g+1)ui(g+1)的等位基因。

2.4 选择

采用贪婪算法来选择下一代种群个体：
xi(g+1)={ui(g+1),if f(ui(g+1))⩽f(xi(g))xi(g),otherwise x_{i}(g+1)=\left\{\begin{array}{ll}{u_{i}(g+1),} & {\text { if } f\left(u_{i}(g+1)\right) \leqslant f\left(x_{i}(g)\right)} \\ {x_{i}(g),} & {\text { otherwise }}\end{array}\right. xi(g+1)={ui(g+1),xi(g), if f(ui(g+1))⩽f(xi(g)) otherwise

3. 算法代码

3.1 伪代码

3.2 matlab

4. 参数控制¹

^{DE算法主要的控制参数包括：种群规模(NP)、缩放因子(F)和交叉概率(CR)。}

^{4.1 参数说明}

^{NP主要反映算法中种群信息量的大小，NP值越大种群信息包含的越丰富，但是带来的后果就是计算量变大，不利于求解。反之，使种群多样性受到限制，不利于算法求得全局最优解，甚至会导致搜索停滞。}
^{CR主要反映的是在交叉的过程中，子代与父代、中间变异体之间交换信息量的大小程度。CR的值越大，信息量交换的程度越大。反之，如果CR的值偏小，将会使种群的多样性快速减小，不利于全局寻优。}
^{相对于CR，F对算法性能的影响更大，F主要影响算法的全局寻优能力。F越小，算法对局部的搜索能力更好，F越大算法越能跳出局部极小点，但是收敛速度会变慢。此外，F还影响种群的多样性}

^{4.2 参数选择}

^{M：一般介于5n到10n之间，但不能少于4，否则变异算则无法进行}
^{F：一般在[0,2]，通常取0.5}
^{CR：[0,1]，通常取0.3.CR越大，收敛速度越快，但易发生早熟现象。}

^{5. 改进方法¹}

^{基本DE算法在求解的过程中，随着进化代数的增加，会使种群的多样性变小，过早的收敛到局部极小点，或者致使算法停滞，这对依靠种群差异来进行进化的算法来说无疑是致命的，使算法的性能在进化的过程中变差。}
^{为了解决基本DE算法的上述缺陷，针对DE算法的特点，目前主要的改进方法是针对进化模式和控制参数的优化，还有一些改进方法是将DE算法与其他一些智能算法进行结合仲用。}

^{5.1 自适应变异算子}

^{为了避免早熟，增加自适应变异算子。算子算法如下：

λ=e1−GmGm+1−GF=F0⋅22\begin{array}{l}{\lambda=e^{1-\frac{G_{m}}{G_{m}+1-G}}} \\ {F=F_{0} \cdot 2^{2}}\end{array} λ=e1−Gm+1−GGmF=F0⋅22

wherewherewhere，F0F_{0}F0为变异算子；GmG_{m}Gm为最大进化代数；GGG为当前进化代数。}

^{算法开始时，自适应算子F=F0F= F_{0}F=F0~2F02F_{0}2F0。具有较大值时，初期保持个体多样性，避免早熟，随着算法进度的不断变化，变异算子的值逐步降低，后期变异率接近F0F_{0}F0，保留优良信息，避免最优解遭到破坏，增加搜索到全局最优解的概率。}

^{https://baike.baidu.com/item/%E5%B7%AE%E5%88%86%E8%BF%9B%E5%8C%96%E7%AE%97%E6%B3%95/10052475?fr=aladdin ↩︎ ↩︎}

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