comsol官方案例学习——1、有限板上的热传导

comsol官方案例——有限板上的热传导

案例描述
解析解
建模仿真
- 几何条件
- 边界条件
- 物理条件
- 初始条件
- 划分网格
- 计算求解
结果分析
其他边界条件

案例描述

这个示例名称是有限板上的热传导，模拟了非稳态导热中温度随时间的变化，对应传热问题中平板的一维非稳态导热。模型域定义在 x=[-b, b] 上，整个域上的初始温度恒定，等于 T0T_0T0 ，在t=0 时，两个边界处的温度下降到 T1T_1T1

解析解

《传热学》（第四版，p123）中，无限大平板以中心界面对称受热时，仅研究半块平板受热即可。书中的案例是第三类边界条件（给定边界上物体与周围流体的表面传热系数h及周围流体的温度TfT_fTf），此处案例为第一类边界条件（给定边界上温度值）。为便于求解，常将温度、尺寸、时间进行无量纲化：

模型方程和边界条件如下：

文档给出的解析解（分离变量法求解）为：

同《传热学》书中给出的第三类边界条件下的情况类似，观察解析解可以发现，系数项随着n增加其绝对值下降，同时反映时间影响的指数项随着时间（以及n）的增加而迅速衰减，在一定时间后，无穷级数第二项及之后各项对计算结果影响很小，可以略去，即在一定时间后，初始条件的影响已经消失，进入非稳态导热的正规阶段，直至温度分布趋于稳态。

建模仿真

几何条件

为了便于与解析解对比，此处几何也做无量纲化，在几何-组件的设置中将单位制设置为无。设置几何为[-1，1]的线段：

边界条件

实际中物理场往往是连续的，且函数的突变也不利于计算收敛，边界处的温度下降采用时间的平滑阶跃函数模拟：η=±1Θ=f(τ)\eta=\pm1{\kern 7pt} \Theta=f(\tau)η=±1Θ=f(τ)设置阶跃函数用于边界条件：

添加边界温度条件：

设置阶跃函数为边界条件：

物理条件

导热系数、密度、比热容三个物性参数都设置为1：

初始条件

无量纲初始温度整体先设置为1：

划分网格

组件1-网格1-序列类型=用户控制网格，网格大小选择为较细化

边界上再细化一下：

计算求解

时间设置，这个应该是结果的展示时间

这个应该是迭代步长设置，迭代中时间步长应该是变化的：

所有时间步长上的温度有点好看：

结果分析

温度分布随时间的变化，最开始时间为0.01时候，板中间温度还没有受到边界条件的影响，还是初始温度，处于非稳态非正规阶段，随着时间增加，边界条件的影响开始深入平板内部，进入正规阶段。

和解析解比较
定义-非局部耦合-积分，并应用于所有域，用于计算数值解和解析解之间的相对L2L^2L2误差（L1误差一阶，可以理解为差的绝对值，L2误差二阶，可以理解为均方误差MSE，二次型的误差容易求解一些）：

绘制相对L2误差图，选择所有域，在y轴数据栏输入表达式：

表达式的意思应该是ϵ=∑(Tn−Ta)2Tn2\epsilon={\sqrt{\sum(T_n-T_a)^2}\over\sqrt{T_n^2}}ϵ=Tn2∑(Tn−Ta)2，其中Tn表示数值解法的值（仿真计算的），就是原公式中的T，Ta表示解析解。可以看出解析解中取了n=0-1000的项。

其他边界条件

哎真不想写，但是一起学习的大佬说研究下就看看，白色背景快瞎了先换个深色背景。这个案例给的是第一类边界条件，第二类边界条件是给定热流密度，用了热通量来替换边界条件，因为是冷却所以热流密度设置为负数：

温度结果：

没有算L2误差，因为我不想去找第二类边界条件的解析解。
第三类边界条件：
第三类边界条件是给定边界上的换热系数和流体温度，《传热学》书中有解析解，但我依然懒得敲公式，且那个公式要特征值，不想弄了，解析解一般是在导热进入正规阶段了，只用级数项的第一项进行计算，有图线法和拟合求系数两种方法，感兴趣的可以翻书做一下，我不想写了。边界条件设置：
温度随时间分布和第二类边界条件差不多：

参考：

comsol官方教程——有限板上的导热
《传热学》第四版