自动控制原理6.3---串联校正

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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3.串联校正

3.1 频率响应法校正设计

在线性控制系统中，常用的校正装置设计方法：分析法和综合法；
- 分析法(试探法)：用分析法设计校正装置直观，在物理上容易实现，但要求设计者有一定的工程设计经验，设计过程带有试探性；
- 综合法(期望特性法)：从闭环系统性能与开环系统特性密切相关出发，根据规定的性能指标要求确定系统期望的开环特性形状，然后与系统原有的开环特性比较，确定校正方式、校正装置的形式和参数；
分析法或综合法，其设计过程一般仅适用于最小相位系统；
开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能；开环频率特性的中频段表征了闭环系统的动态性能；开环频率特性的高频段表征了闭环系统的复杂性和噪声抑制性能；
用频域法设计控制系统的实质：在系统中加入频率特性形状合适的校正装置，使开环系统频率特性形状变成期望的形状：低频段增益充分大，以保证稳态误差要求；中频段对数幅频特性一般为-20dB/dec，并占据充分宽的频带，以保证具备适当的相角裕度；高频段增益尽快减小，以削弱噪声影响，若系统原有部分高频段已符合要求，则校正时可保持高频段形状不变，以简化校正装置的形式；

3.2 串联超前校正

利用超前网络或PD控制器进行串联校正的基本原理：是利用超前网络或PD控制器的相角超前特性；

用频域法设计无源超前网络的步骤：

根据稳态误差要求，确定开环增益KKK；
利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度；
根据截止频率ωc′′\omega_c''ωc′′的要求，计算超前网络参数a、Ta、Ta、T；此步骤中，选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即ωm=ωc′′\omega_m=\omega_c''ωm=ωc′′，以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性；ωm=ωc′′\omega_m=\omega_c''ωm=ωc′′成立的条件为：
−L′(ωc′′)=Lc(ωm)=10lg⁡a(1)-L'(\omega_c'')=L_c(\omega_m)=10\lg{a}\tag{1} −L′(ωc′′)=Lc(ωm)=10lga(1)
可确定aaa值，根据：
T=1ωma(2)T=\frac{1}{\omega_m\sqrt{a}}\tag{2} T=ωma1(2)
确定TTT值；
验算已校正系统的相角裕度γ′′\gamma''γ′′；计算φm\varphi_mφm值，由已知的ωc′′\omega_c''ωc′′算出待校正系统在ωc′′\omega_c''ωc′′时的相角裕度γ(ωc′′)\gamma(\omega_c'')γ(ωc′′)，由γ′′=φm+γ(ωc′′)\gamma''=\varphi_m+\gamma(\omega_c'')γ′′=φm+γ(ωc′′)算出γ′′\gamma''γ′′，当γ′′\gamma''γ′′不满足要求时，重新选ωm\omega_mωm；

实例分析：

Example1： 设控制系统如下图所示，若要求系统在单位斜坡输入信号作用时，位置输出稳态误差ess(∞)≤0.1rade_{ss}(\infty)≤0.1radess(∞)≤0.1rad，开环系统截止频率ωc′′≥4.4rad/s\omega_c''≥4.4rad/sωc′′≥4.4rad/s，相角裕度γ′′≥45°\gamma''≥45°γ′′≥45°，幅值裕度h′′≥10dBh''≥10dBh′′≥10dB，试设计串联无源超前网络。

解：

因为
ess(∞)=1K≤0.1e_{ss}(\infty)=\frac{1}{K}≤0.1 ess(∞)=K1≤0.1
取K=10rad−1K=10rad^{-1}K=10rad−1，则待校正系统传递函数为：
G0(s)=10s(s+1)G_0(s)=\frac{10}{s(s+1)} G0(s)=s(s+1)10
可得其对数幅频渐近特性曲线，或由ωc′\omega_c'ωc′计算公式可算得待校正系统的ωc′=3.1rad/s\omega_c'=3.1rad/sωc′=3.1rad/s，算出待校正系统的相角裕度：
γ=180°−90°−arctan⁡ωc′′=17.9°\gamma=180°-90°-\arctan\omega_c''=17.9° γ=180°−90°−arctanωc′′=17.9°
二阶系统幅值裕度为+∞+\infty+∞dB，相角裕度小的原因，因为待校正系统的对数幅频渐近特性中频区的斜率为-40dB/dec，由于截止频率和相角裕度均低于指标要求，因此采用串联超前校正是合适的；

计算超前网络参数，试选ωm=ωc′′=4.4rad/s\omega_m=\omega_c''=4.4rad/sωm=ωc′′=4.4rad/s，由渐近特性图或计算公式可得L(ωc′′)=−6dBL(\omega_c'')=-6dBL(ωc′′)=−6dB，可得：a=4,T=0.114sa=4,T=0.114sa=4,T=0.114s，超前网络传递函数为：
4Gc(s)=1+0.456s1+0.114s4G_c(s)=\frac{1+0.456s}{1+0.114s} 4Gc(s)=1+0.114s1+0.456s
为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需要提高4倍，否则不能保证稳态误差要求；

超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为：
aGc(s)G0(s)=10(1+0.456s)s(1+0.114s)(1+s)aG_c(s)G_0(s)=\frac{10(1+0.456s)}{s(1+0.114s)(1+s)} aGc(s)G0(s)=s(1+0.114s)(1+s)10(1+0.456s)
可得渐近幅频特性曲线，已校正系统ωc′′=4.4rad/s\omega_c''=4.4rad/sωc′′=4.4rad/s，可得待校正系统的γ(ωc′′)=12.8°\gamma(\omega_c'')=12.8°γ(ωc′′)=12.8°，由计算公式可得φm=36.9°\varphi_m=36.9°φm=36.9°，因此已校正系统的相角裕度为：
γ′′=φm+γ(ωc′′)=49.7°＞45°\gamma''=\varphi_m+\gamma(\omega_c'')=49.7°＞45° γ′′=φm+γ(ωc′′)=49.7°＞45°
已校正系统的幅值裕度仍为+∞+\infty+∞dB，因此，全部性能指标均满足要求；

在有些情况下采用串联超前校正是无效的：

闭环带宽要求。若待校正系统不稳定，为了得到规定的相角裕度，需要超前网络提供很大的相角超前量，这样，超前网络的aaa值必须选得很大，从而造成已校正系统带宽过大，使得通过系统的高频噪声电平很高，很可能使系统失控；
在截止频率附近相角迅速减小的待校正系统，一般不宜采用串联超前校正，因为随着截止频率的增大，待校正系统相角迅速减小，使已校正系统的相角裕度改善不大，很难得到足够的相角超前量；在一般情况下，产生这种相角迅速减小的原因是，在待校正系统截止频率附近，或有两个交接频率彼此靠近的惯性环节，或有两个交接频率彼此相等的惯性环节，或有一个振荡环节；

3.3 串联滞后校正

利用滞后网络或PI控制器进行串联校正的基本原理：利用滞后网络或PI控制器的高频幅值衰减特性，使已校正系统截止频率下降，从而使系统获得足够的相角裕度；

滞后网络的最大滞后角应力求避免发生在系统截止频率附近，在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下，可考虑采用串联滞后校正；

如果待校正系统已具备满意的动态性能，仅稳态性能不能满足指标要求，也可以采用串联滞后校正以提高系统的稳态精度，同时保持其动态性能仍然满足性能指标要求；

如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统，应用频域法设计串联无源滞后网络的步骤：

根据稳态误差要求，确定开环增益KKK；
利用已确定的开环增益，画出待校正系统的开环对数频率特性，确定待校正系统的截止频率ωc′\omega_c'ωc′、相角裕度γ\gammaγ和幅值裕度h(dB)h(dB)h(dB)；
选择不同的ωc′′\omega_c''ωc′′，计算或查出不同的γ\gammaγ值，在开环伯德图上绘制γ(ωc′′)\gamma(\omega_c'')γ(ωc′′)曲线；
根据相角裕度γ′′\gamma''γ′′要求，选择已校正系统的截止频率ωc′′\omega_c''ωc′′，考虑到滞后网络在新的截止频率ωc′′\omega_c''ωc′′处会产生一定的相角滞后φc(ωc′′)\varphi_c(\omega_c'')φc(ωc′′)，因此有式子成立：γ′′=γ(ωc′′)+φc(ωc′′)\gamma''=\gamma(\omega_c'')+\varphi_c(\omega_c'')γ′′=γ(ωc′′)+φc(ωc′′)；其中：γ′′\gamma''γ′′是指标要求值，φc(ωc′′)\varphi_c(\omega_c'')φc(ωc′′)在确定ωc′′\omega_c''ωc′′前取-6°；
根据关系式确定滞后网络参数b、Tb、Tb、T；
20lg⁡b+L′(ωc′′)=0，1bT=0.1ωc′′(3)20\lg{b}+L'(\omega_c'')=0，\frac{1}{bT}=0.1\omega_c''\tag{3} 20lgb+L′(ωc′′)=0，bT1=0.1ωc′′(3)
验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度；

3.4 串联超前网络和串联滞后网络比较

超前校正是利用超前网络的相角超前特性，滞后校正是利用滞后网络的高频幅值衰减特性；
为了满足严格的稳态性能要求，当采用无源校正网络时，超前校正要求一定的附加增益，而滞后校正一般不需要附加增益；
对于同一系统，采用超前校正的系统带宽大于采用滞后校正的系统带宽；从提高系统响应速度的观点看，希望系统带宽越大越好，与此同时，带宽越大则系统越容易受噪声干扰的影响，因此如果系统输入端噪声电平较高，一般不宜选用超前校正；

3.5 串联滞后-超前校正

采用串联滞后-超前校正，已校正系统响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能较好；当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时，以采用串联滞后-超前校正为宜；

基本原理：利用滞后-超前网络的超前部分来增大系统的相角裕度，同时利用滞后部分来改善系统的稳态性能；

串联滞后-超前校正设计步骤：

根据稳态性能要求确定开环增益KKK；
绘制待校正系统的开环对数幅频渐近特性，求出待校正系统的截止频率ωc′\omega_c'ωc′、相角裕度γ\gammaγ和幅值裕度h(dB)h(dB)h(dB)；
在待校正系统开环对数幅频渐近特性上，选择斜率从−20-20−20dB/dec变为-40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率ωb\omega_bωb；
根据响应速度要求，选择系统的截止频率ωc′′\omega_c''ωc′′和校正网络衰减因子1/α1/\alpha1/α；要保证已校正系统的截止频率为所选的ωc′′\omega_c''ωc′′，有：
−20lg⁡α+L′(ωc′′)+20lg⁡Tbωc′′=0(4)-20\lg\alpha+L'(\omega_c'')+20\lg{T_b}\omega_c''=0\tag{4} −20lgα+L′(ωc′′)+20lgTbωc′′=0(4)
其中：Tb=1/ωb；L′(ωc′′)+20lg⁡Tbωc′′T_b=1/\omega_b；L'(\omega_c'')+20\lg{T_b}\omega_c''Tb=1/ωb；L′(ωc′′)+20lgTbωc′′可由待校正系统开环对数幅频渐近特性的-20dB/dec延长线在ωc′′\omega_c''ωc′′处的数值确定；
根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的交接频率ωa\omega_aωa；
校验已校正系统的各项性能指标；