递归式求和：

$\left\{\begin{matrix} C_{0}=C_{1}=0& n=1||n=0& \\ C_{n}=n+1+(\sum_{k=0}^{n-1}C_{k})*\frac{2}{n}& n>1&; \end{matrix}\right.$

像这种类型的递归式，要快速求出 $C_{1003}$ 的值，用暴力求的方法，是要算很久的。

所以来化简一下2式：

f1：

$nC_{n}=n^{_{2}}+n+2\sum_{k=0}^{n-1}C_{k} ,n>1$

用n-1代替n,则f2：

$(n-1)C_{n-1}=(n-1)^{_{2}}+(n-1)+2\sum_{k=0}^{n-2}C_{k} ,n-1>1$

f1-f2:

$nC_{n}-(n-1)C_{n-1}=2n+2C_{n-1} , n>2$

这样一来，原式就化简成一个简单的递归式了，即 $\left\{\begin{matrix} C_{0}=C_{1}=0,C_{2}=3 & n=1||n=0\\ nC_{n}=2n+(n+1)C_{n-1} , n>2 & n>2 \end{matrix}\right.;$

问题再一次来了，怎么求解这个递归式呢？

设 $a_{n}=n$ , $b_{n}=n+1$ , $c_{n}=2n$ ,即 $a_{n}C_{n}=c_{n}+b_{n}C_{n-1}$

假设，存在一个 $s_{n}$ 满足 $s_{n-1}a_{n-1}=s_{n}*b_{n}$ ,即 $s_{n}a_{n}C_{n}=s_{n-1}a_{n-1}C_{n-1}+s_{n}c_{n}$ ,令 $S_{n}=s_{n}a_{n}C_{n}$ ,即：

$S_{n}=S_{n-1}+s_{n}c_{n}$ => $S_{n}=s_{2}*a_{2}*C_{2}+\sum_{k=3}^{n}s_{k}c_{k}$ => 将 $S_{n}=s_{n}a_{n}C_{n}$ 带入前式，即：

$C_{n} =\frac{1}{s_{n}*a_{n}}(\sum_{k=3}^{n}(s_{k}c_{k})+s_{2}*a_{2}*C_{2})=\frac{1}{s_{n}*a_{n}}(\sum_{k=3}^{n}(s_{k}c_{k})+s_{3}*b_{3}*C_{2})$ ,至此，就会有一个问题了 $s_{n}=?$ ,注意看 $s_{n}*b_{n}=s_{n-1}*a_{n-1} => s_{n}=\frac{a_{n-1}}{b_{n}}s_{n-1}$ ,在求解这个递归式得： $s_{n}=\tfrac{a_{n-1}*a_{n-2}*...*a_{0}}{b_{n}*b_{n-1}*....*b_{1}}=\frac{(n-1)*(n-2)*...*1}{(n+1)*(n-0)*...*3}=\frac{2}{(n+1)n}$ ;所以 $\sum_{k=3}^{n}(s_{k}c_{k})=4\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k+1}$

所以最后的结果是： $s_{3}=\frac{2}{4*3},b_{3}=4$ ,所以 $C_{n}=\frac{(n+1)}{2}(\sum_{3}^{n}(s_{k}c_{k})+\frac{2}{3})=\frac{n+1}{2}(\sum_{k=1}^{n}(s_{k}c_{k})-\frac{4}{3})$ $C_{n}=2(n+1)\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k+1}-\frac{2}{3}(n+1)$

再至此，就会剩下最后一个问题了 $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}$ 是多少？

设 $H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ ,这个式子和最后出现的和式相似，事实上因为他出现的如此频繁，我们可以给他取一个名字调合数（小提琴弦所产生的第k个范音（harmonic）是弦长1/k处所产生的基音）。下面，求解：

$\sum_{1<=k<=n}\frac{1}{k+1}=\sum _{1<=k-1<=n}\frac{1}{k}=\sum _{2<=k<=n+1}\frac{1}{k}=\sum _{1<=k<=n}\frac{1}{k}-1+\frac{1}{n+1}=H_{n}-\frac{n}{n+1}=ln(n)+0.57721566490153286060651209-\frac{n}{n+1}$

所所以，结果是：

$C_{n}=2(n+1)H_{n}-\frac{8}{3}n-\frac{2}{3} ,n>1$

这种方法被称为扰动法（perturbation method）。利用扰动法，可以用一个封闭形式来计算一个和式。其思想是从一个未知的和式开始，并记她为Sn：

$S_{n}=\sum_{0<=k<=n} a_{k}$

然后将它的最后一项和第一项分离出来，用两种方法重新改写 $S_{n+1}$ :

$S_{n}+a_{n+1}=\sum_{0<=k<=n+1}=a_{0}+\sum_{1<=k<=n+1}a_{k}$

$=a_{0}+\sum_{i<=k+1<=n+1}a_{k+1} =a_{0}+\sum_{0<=k<=n}a_{k+1}$

最后对上面的和式加以处理，并尝试用 $S_{n}$ 表示出来。如果成功，就会得到一个方程。。

说实话，这篇文章也算不上原创，可以说全是书上的内容《具体数学计算机科学基础（第二版）》

欢迎指出错误！！！

《具体数学》（二）和式相关推荐

二维分类教案_大班数学二维分类教案
学习将分类后的物品再次按类摆放并设计标志记录分类.以下是小编收集整理的大班数学二维分类教案相关资料,欢迎阅读! 大班数学二维分类教案1 活动目标: 1.学会服装可以分为上衣和裤子,食品可以分为水果和蔬 ...
4十4十4写成乘法算式_小学数学二年级下册数学1-4单元知识点复习提前准备才能考的更好...
期中考试快到了,小学数学二年级下册1-4单元知识点复习,为考试做准备! 第一单元数据收集与整理 1. 收集数据的方法: (1) 民意调查:如投票选举. (2) 实地调查:如现场观察,收集,统计数据. ...
计算机考研数学考一还是二,考研我不知道自己考数一还是数学二
考研我不知道自己考数一还是数学二以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧! 考研我不知道自己考数一还是数学二数一主 ...
计算机考研数学考数学二的专业,考研常识：哪些专业考数学二？
作为一枚考研新手,在复习前你是否了解以下的几件事了呢?建议同学们在考研前要了解这些考研常识,对整年的复习做一个详细的规划哦--以下是"考研常识:哪些专业考数学二?",对大家有帮助. ...
数学二、英语二、政治
数学书籍:(按照时间线顺序给出) <张宇高数18讲>.<李永乐线性代数>.<张宇闭关修炼>.<张宇1000题>.<张宇真题>.<张宇 ...
[肖博数学干货]高考数学二轮复习方法之概率和统计附强化题型解析
高考数学二轮复习方法之概率和统计的解答题是每年高考必考的内容,概率与统计的计算.线性回归分析与统计案例的计算等内容都是考查实践能力的良好素材.本部分用到的思想方法主要有:分类讨论的思想方法.转化与化归 ...
计算机考研数学考数学几,2018考研数学：数学一、数学二、数学三分别都考什么？...
2018考研复习,首先大家必须要了解自己的考试科目,区分考试难度,考研数学分数学一.数学二和数学三,大家先了解后规划. ▶一.区别数学分为三类,最大的区别在于知识面的要求上:数学一最广,数学三其次, ...
计算机考英语一数学二,这所院校初试科目调整为数一英一!又有专业计划停招!这些信息21考研人一定要知道!...
21考研初试科目调整一.安徽大学电子信息工程学院 1.公共课调整: [0854]电子信息专硕下面的四个方向:[085401]智能信号处理与工程.[085402]通信智能系统.[085403]射频电路 ...
【张宇2021考研】数学二(样卷)扫描版
[张宇2021考研]数学二(样卷)扫描版链接: https://pan.baidu.com/s/1HuyOP_UOVbBJ16_C6f_A-g 提取码: j98g 复制这段内容后打开百度网盘手机Ap ...
肖博高考数学二轮复习方法概率
热点一古典概型热点二几何概型热点三概率的交汇问题高考数学二轮复习方法高考对本部分内容主要从以下几方面考查: 1．古典概型是文科的必考内容,一般情况下各种题均可出现,难度较易,主要考 ...

《具体数学》（二）和式

说实话，这篇文章也算不上原创，可以说全是书上的内容《具体数学计算机科学基础（第二版）》

欢迎指出错误！！！

《具体数学》（二）和式相关推荐

最新文章

热门文章

《具体数学》（二）和式

说实话，这篇文章也算不上原创，可以说全是书上的内容《具体数学 计算机科学基础（第二版）》

欢迎指出错误！！！

《具体数学》（二）和式相关推荐

最新文章

热门文章

说实话，这篇文章也算不上原创，可以说全是书上的内容《具体数学计算机科学基础（第二版）》