二阶龙格库塔公式推导_二阶龙格

二阶龙格—库塔公式

第一节常微分方程第二节欧拉方法第三节龙格—库塔法在上一节中，我们得到了一些求微分方程近似解的数值方法，这些方法的局部截断误差较大，精度较低，我们希望得到有更高阶精度的方法。一阶龙格—库塔方法如果以y(x)在xi处的斜率作为y(x)在 [xi，xi+1]上的平均斜率k*，即二阶龙格—库塔方法在[xi，xi+1]上取两点xi，xi+p(0< p≤1)的斜率值k1，k2的线性组合λ1k1+λ2k2作为k*的近似值(λ1、λ2为待定常数)，此公式一般形式可写成这就是二阶龙格—库塔法公式。三阶龙格—库塔公式为了提高精度,考虑在[xi，xi+1]上取三点xi,xi+p,xi+q的斜率值分别为k1,k2,k3,将k1,k2,k3的线性组合作为平均斜率k*的近似值，其中 k* 这就是欧拉法. 则得其中k1 = f (xi，yi)，k2为[xi，xi+1]内任意一点xi+p = xi+ ph (0< p≤1) 的斜率f (xi+p，y(xi+p))。由于y (xi+p)并没有给出,所以先应该求y (xi+p)，仿照改进欧拉公式的构造思想，得到 (8-7) 这样构造出的公式为 k1 k2 k* 公式中含有三个参数λ1,λ2和p,如果我们适当选取参数的值，可以使公式的局部截断误差为O(h3)。对k1和k2作泰勒展开代入(8-7)得 (*) 又 y (x)在xi处的二阶泰勒展开式为当x = xi+1时，，有 (**) (**) 比较(*)与(**)的系数即可发现，要使公式(7-7)的局部截断误差满足，即要求公式具有二阶精度只要下列条件成立即可。 (8-8) 满足条件(8-8)的一簇公式统称为二阶龙格—库塔公式。特别的，当塔公式就成为改进欧拉公式。时，龙格-库　　改进欧拉公式就是以y(x)在xi和xi+1 处的斜率k1和k2的算术平均值作为y(x)在[xi，xi+1]上的平均斜率k*来进行计算的。若取时，龙格-库塔公式就称为变形的欧拉公式，其形式为 (8-9) 此处的就是欧拉方法预报出的中点处的近似解；而等于中点的斜率值则近似；所以公式可以看作用中点斜率近似代替平均斜率k*，因此，公式(8-9)也称作中点公式。 xi+q=xi+qh (0

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