【白兔兔】- 用LaTeX排版第八届中国大学生数学竞赛决赛（数学类）试卷
2024-06-11 03:11:05
%14金融工程白兔兔原创
%第八届中国大学生数学竞赛决赛（数学类）试卷
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%===========================中文字体设置====================================%
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\setCJKmainfont[BoldFont={FZXiaoBiaoSong-B05S}, ItalicFont={FZKai-Z03S}]{FZShuSong-Z01S} % 书宋、小标宋、楷体
\newcommand{\zhongsong}{\CJKfontspec{方正中宋简体}}%方正中宋
\newcommand{\shusong}{\CJKfontspec{FZShuSong-Z01S}}%方正书宋
\setCJKsansfont[BoldFont={FZHei-B01S}]{FZXiHei I-Z08S} % 方正细黑、黑体
\renewcommand{\heiti}{\CJKfontspec{FZHei-B01S}}%方正黑体
\renewcommand{\fangsong}{\CJKfontspec{FZFangSong-Z02S}}%方正仿宋简体
\renewcommand{\kaishu}{\CJKfontspec{FZKai-Z03S}}%方正楷体
\setCJKfamilyfont{huawenxingkai}{华文行楷} \newcommand*{\xingkai}{\CJKfamily{huawenxingkai}}%华文行楷
%=======================================================================%
\usepackage{zref-user,zref-lastpage}%使用zref宏包,引用数字标签值和LastPage标签,感谢qingkuan大神指导
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%================================给全文加个边框====================================
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%--------------------------------------------------------------------------------
\begin{document}\zihao{5}
\begin{center}{\zihao{-2}\xingkai 第八届中国大学生数学竞赛决赛一、二级试卷}\\[1.5mm]{\zihao{4} (数学类，2017年3月18日)}\\[2mm]{\zihao{4}考试形式:\underline{\;闭卷\;}\quad\, 考试时间:\underline{\;\;\,180\;\;\,}分钟 \quad\, 满分:\underline{\;\;\,100\;\;\,}分}
\end{center}
\vspace*{-7mm}\rule{\textwidth}{0.1pt}%分隔线
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%==============================================================================%
%--------------------------------------正文开始---------------------------------%
%===============================================================================%
\setlength{\topsep}{1ex}%列表到上下文的垂直距离
\setlength{\itemsep}{-2mm}%条目间距
\begin{enumerate}[labelsep=-0.2em,leftmargin=2em,align=left]
\item[{\heiti 一、填空题}] \hspace{2.5mm}{\zhongsong(本题满分20分, 共4小题, 每小题5分)} \begin{enumerate}[label={\arabic*.},labelsep=-1.7em,leftmargin=1.0em,align=left]\item 设 $x^4+3x^2+2x+1=0$ 的 $4$ 个根为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$. 则行列式 $\begin{vmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3&\alpha_4\\\alpha_2&\alpha_3&\alpha_4&\alpha_1\\\alpha_3&\alpha_4&\alpha_1&\alpha_2\\\alpha_4&\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{vmatrix}$\;=\;\underline{\hspace{2cm}}%\\[2mm]{\heiti 答案}： \item设 $a$ 为实数，关于 $x$ 的方程 $3x^4-8x^3-30x^2+72x+a=0$ 有虚根的充分必要条件是 $a$ \\满足\;\blank%\\[2mm]{\heiti 答案}：\item 计算曲面积分 $I=\iint_S\frac{ax\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+(x+a)^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ ($a>0$ 为常数)，\\[2mm]其中 $S:z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}$, 取上侧. $I=\blank$%\\[2mm]{\heiti 答案}：\item 记两特征值为 $1$, $2$ 的 $2$ 阶实对称矩阵全体为 $\Gamma$. $\forall A\in\Gamma$ , $a_{21}$ 表示 $A$ 的 $(2,1)$ 位置元素. \\则集合 $\cup_{A\in\Gamma}\{a_{21}\}$ 的最小元 = \blank%\\[2mm]{\heiti 答案}：
\end{enumerate}
\item[{\heiti 二、}] {\zhongsong(本题 15 分)} 在空间直角坐标系中设旋转抛物面 $\Gamma$ 的方程为 $z=\tfrac{1}{2}(x^2+y^2)$. 设 $P$ 为空间中的平面 , \\
它交抛物面 $\Gamma$ 与曲线 $C$. 问: $C$ 是何种类型的曲线 ? 证明你的结论.\item[{\heiti 三、证明题}] \hspace{2.5mm}{\zhongsong(本题 15 分)} 设 $n$ 阶方阵 $\text{\textbf{\textit{A}}}$, $\text{\textbf{\textit{B}}}$ 满足: 秩 $(\text{\textbf{\textit{ABA}}})=$ 秩 $(\text{\textbf{\textit{B}}})$. 证明: $\text{\textbf{\textit{AB}}}$ 与 $\text{\textbf{\textit{BA}}}$ 相似.
\item[{\heiti 四、}] {\zhongsong(本题 20 分)} 对 $\mathbb{R}$ 上无穷次可微的 (复值) 函数 $\varphi(x)$, 称 $\varphi(x)\in\mathscr{S}$, 如果 $\forall m,k\geqslant0$ \\[1mm]
成立 $\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|x^m\varphi^{(k)}(x)\right|<+\infty$. 若 $f\in\mathscr{S}$, 可定义 $\hat{f}(x):=\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(y)e^{-2\pi ixy}\,\mathrm{d}y,\quad (\forall x\in\mathbb{R}).$ \\[1mm]
证明: $\hat{f}(x)\in\mathscr{S}$, 且 \[f(x)=\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(y)e^{2\pi ixy}\,\mathrm{d}y,\quad \forall x\in\mathbb{R}\]
\item[{\heiti 五、}] {\zhongsong(本题 15 分)} 设 $n>1$ 为正整数. 令 \[S_n=\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\cdots+\left(\frac{n-1}{n}\right)^n\]
\begin{enumerate}[label={\arabic*.},labelsep=-1.7em,leftmargin=1.0em,align=left]\item 证明：数列 $S_n$ 单调增且有界, 从而极限 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 存在.\item 求极限 $\lim_{n\to\infty}S_n$.
\end{enumerate}
\item[{\heiti 六、}] {\zhongsong(本题 20 分)} 求证: 常微分方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-y^3+\sin x,x\in[0,2\pi]$ 有唯一的满足 $y(0)=y(2\pi)$ 的解.
\end{enumerate}%------------------------------------------------------------------------------
%===================================正文结束======================================
%------------------------------------------------------------------------------
\vfill
\begin{flushright}
整理者：14 金融工程 $-$ 白兔兔\\
整理时间：2017年3月24日
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