动态规划----最长公共子序列问题

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解的问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后再从若干个子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子规模往往不是相互独立的。

动态规划算法适用于解最优化的问题。通常可以按照以下步骤设计动态规划算法：

找出最优解的性质，并刻画其结构特征
递归地定义最优值
以自底向上的方式计算出最优值
根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

动态规划算法可有效解决最长公共子序列的问题。首先来看看最长公共子序列的定义：

这道题可以按照下面两种情况分析，解决动态规划问题最主要的是要用假设。

根据上面两种情况分析我们可以利用归纳法写出数学表达式：

因此根据数学表达式直接写出代码如下：

int lcsLength(char *X, char *Y, int m, int n)
{if (m == 0 || n == 0)return 0;else{if (X[m] == Y[n]) return lcsLength(X, Y,m - 1, n - 1) + 1;else{return max(lcsLength(X, Y, m, n - 1), lcsLength(X, Y, m - 1, n));}}
}
int main()
{char X[] = { "#ABCBDAB" };char Y[] = { "#BDCABA" };int mx = strlen(X) - 1;int ny = strlen(Y) - 1;int maxlen = lcsLength(X, Y, mx, ny);cout << maxlen << endl;
}

从运行结果我们可以看到确实计算出了X和Y的最长公共子序列的长度是4：

但是很明显这个程序重复计算了好多次相同规模的情况，因此我们用一个二维数组来标记，减少重复计算相同规模的子序列。

void PrintVector(vector<vector<int>>& c)
{for (int i = 0; i < c.size(); i++){for (int j = 0; j < c[i].size(); j++){cout << c[i][j] << " ";}cout << endl;}cout << endl;
}
int lcsLength(char *X, char *Y, int m, int n, vector<vector<int>>& c)
{if (m == 0 || n == 0)return 0;else if (c[m][n] > 0) return c[m][n];else{if (X[m] == Y[n]){c[m][n] = lcsLength(X, Y, m - 1, n - 1, c) + 1;}else{c[m][n] = max(lcsLength(X, Y, m, n - 1,c), lcsLength(X, Y, m - 1, n,c));}return c[m][n];}
}
int main()
{char X[] = { "#ABCBDAB" };char Y[] = { "#BDCABA" };int mx = strlen(X) - 1;int ny = strlen(Y) - 1;vector<vector<int>> c;//二维数组c.resize(mx + 1);//重设容器大小并填充元素（填充vector）for (int i = 0; i < mx + 1; i++){c[i].resize(ny + 1);//重设容器大小并填充元素（字符类型的缺省值）}PrintVector(c);int maxlen = lcsLength(X, Y, mx, ny,c);PrintVector(c);cout << maxlen << endl;
}

这样一来就大大提高了程序的运行效率。

但是这个时候我们只能计算出X和Y的最长公共子序列的长度，不能知道最长公共子序列是具体哪个序列，因此我们再将程序完善：

void PrintVector(vector<vector<int>>& c)
{for (int i = 0; i < c.size(); i++){for (int j = 0; j < c[i].size(); j++){cout << c[i][j] << " ";}cout << endl;}cout << endl;
}
void PrintItem(char *X, int m, int n, vector<vector<int>> &s)
{if (m == 0 || n == 0)return;else{if (s[m][n] == 1){PrintItem(X, m - 1, n - 1, s);cout << X[m] << " ";}else if (s[m][n] == 2){PrintItem(X, m - 1, n, s);}else{PrintItem(X, m, n - 1, s);}}
}
int lcsLength(char *X, char *Y, int m, int n, vector<vector<int>>& c, vector<vector<int>>& s)
{if (m == 0 || n == 0)return 0;else if (c[m][n] > 0) return c[m][n];else{if (X[m] == Y[n]){c[m][n] = lcsLength(X, Y, m - 1, n - 1, c,s) + 1;s[m][n] = 1;//X和Y相等}else{int a = lcsLength(X, Y, m, n - 1, c, s);int b = lcsLength(X, Y, m - 1, n, c, s);if (a > b){c[m][n] = a;s[m][n] = 2;//行-1}else{c[m][n] = b;s[m][n] = 3;//列-1}}return c[m][n];}
}
int main()
{char X[] = { "#ABCBDAB" };char Y[] = { "#BDCABA" };int mx = strlen(X) - 1;int ny = strlen(Y) - 1;vector<vector<int>> c, s;//二维数组c.resize(mx + 1);//重设容器大小并填充元素（填充vector）s.resize(mx + 1);for (int i = 0; i < mx + 1; i++){c[i].resize(ny + 1);//重设容器大小并填充元素（字符类型的缺省值）s[i].resize(ny + 1);}int maxlen = lcsLength(X, Y, mx, ny,c,s);PrintVector(c);PrintVector(s);PrintItem(X, mx, ny, s);cout << endl;cout << maxlen << endl;
}

非递归算法如下：

int NicelcsLength(char* X, char* Y, int m, int n, vector<vector<int>>& c, vector<vector<int>>& s)
{for (int i = 1; i <= m; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){if (X[i] == Y[j]){c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;s[i][j] = 1;}else if(c[i - 1][j]> c[i][j - 1]){c[i][j] = c[i - 1][j]; s[i][j] = 2;}else{c[i][j] = c[i][j - 1];s[i][j] = 3;}}}return c[m][n];
}

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