正在更新中。。。

这篇文章要跟大家一起完全搞明白卡尔曼滤波，连一个标点符号也不放过，完完全全理解明白。

如果你看不懂，那说明我写的不好。

本文是看了dr_con博士的视频后做的，建议可以去看看。

如果哪里写的不对，欢迎批评指正。QQ:953598974

视频链接：https://space.bilibili.com/230105574/channel/collectiondetail?sid=6939

目录

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卡尔曼滤波究竟是在做什么？（数据融合）

H矩阵的意义是什么？（传感器测量值与实际值的转化）

卡尔曼滤波融合什么数据？（先验估计与测量估计）

什么是过程噪声协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵（Q矩阵和R矩阵的意义是什么）？

噪声

mpu6050小例程（读取一个角度）

mpu6050小例程（采集角度噪声）

mpu6050小例程（计算角度噪声的方差）

mpu6050小例程（读取角加速度）

mpu6050小例程（计算角加速度方差-即角加速度噪声方差）

mpu6050小例程（计算角度与角加速度噪声协方差）

引例及思路

​编辑

推导卡尔曼增益K

卡尔曼滤波究竟是在做什么？（数据融合）

卡尔曼滤波本质就是在搞数据融合。接下来我用初中公式来解释一下如何融合数据。

可能很多人不知道什么是数据融合，为了把这篇文章写明白。

所以我先用通俗的语言解释一下数据融合。

比如说我现在想称一下自己的体重，买了一台称，称了一下发现自己体重是63.5kg。

但是我从称上下来的时候，发现在上面完全没有站人的情况下，竟然显示0.3kg，于是我知道这个称不准确。

所以我又买了一个称，用新买的称称重之后发现自己的体重是60.0kg。

我知道世界上没有任何一台称是完全准确的，于是我取了平均值来当作我的真实体重。

如下图这样，我得到了我的体重是61.75kg。

取平均值的过程，就是将两个测量数据进行数据融合，得到了一个相对准确的估计数据。

已经搞明白了什么是数据融合，接下来来弄明白卡尔曼核心公式之一——卡尔曼增益的意义。

通过取两次测量数据的平均值，我得到了一个新的更准确的体重值。

但是经验告诉我，事实不是这么简单，毕竟如果我取平均值的话，那说明把两台称放在了同等地位去考虑，但现实不总是这样的。

比如有的称更好他就更准确，有的称不太好就没那么准，我们倾向于在更准的数据上面加权。所以我打算取这两个数的加权平均数来当作我的真实体重。

那么如何加权呢？

第一台称我在拼多多上面花29.9包邮买的。

第二台称我在京东上面花69.9买的。

于是根据一分价钱一分货的道理，我本能觉得贵的更好。

于是我这样做。

这就是对不同的称进行加权处理，比如上图中第一个称权重是30%，第二个称权重是70%，也就是说我对第一个值考虑了30%，对第二个值考虑了70%。通过这种加权的方式将两个数据进行了融合。

但是实际上我用称的价格进行权重考虑也不是很准确，毕竟购买的东西不总是一份价格一分货。

你不能说我在网上9.9元包邮买的耳机音质效果是4.9元包邮买的耳机的两倍吧！

于是我考虑设第一个称的权重为K，那么第二个称的权重自然为1-K。

然后再通过一种方法（这个方法在下文，这里先不纠结）来找到一个合适的K，给两个数进行加权求得加权平均数。

如下图：

我把卡尔曼滤波五大核心公式放在下面：

我们发现，求两个称加权平均数的过程，跟卡尔曼进行后验估计的公式很像，简直一样。

这就对了，因为卡尔曼滤波中进行后验估计的过程，就是在取先验估计与测量估计的加权平均数。

即对先验估计与测量估计两个数据进行融合（通过求加权平均数融合两个数据）得到后验估计。

而这个合适的K即权重，就是卡尔曼增益。

由于我们刚刚称重是在讨论一维数据，因此，K就是个数字。

而如果上升到多维数据，那么K就变成了矩阵了。

卡尔曼增益K矩阵——权重矩阵。

刚刚上面又说了三个新的概念，后验估计、先验估计和测量估计。

这个我们下面再解释，同时配合解释H矩阵的意义，这样理解的更深刻。

我们这里就理解了卡尔曼滤波的真正意义，其实就是在两个不太准确的值之间求加权平均数进行数据融合，这个权重即卡尔曼增益。

H矩阵的意义是什么？（传感器测量值与实际值的转化）

由于我们下面要用传感器测量系统的状态，所以我们先来搞明白H矩阵是什么。

很多同学没有学过控制理论，而大部分文章写半天都没写这些矩阵到底是啥意思，也不说这些矩阵如何求得。

本着让大家一起搞明白的原则，我们来解释一下。

我们用mpu6050的三轴加速度计来举例。

mpu6050的加速度计的三轴分量ACC_X、ACC_Y和ACC_Z均为16位有符号整数。

16位无符号整数的范围为0~2^16即0~65535，而16位无符号整数范围为-32768~32767.

而mpu6050加速度计有4个可选倍率：2g、4g、8g、16g。倍率默认为2g。假设我们设置的倍率为4g。

那么也就是说我们用单片机读取到-32768的加速度值时，也就是4g的加速度。

当读到32767这个数值的时候，也就是-4g的加速度。

我们定义以下三个2x1的矩阵。X(k)、Z(k)、V(k)。

X(k)是k时刻系统状态量，里面包含了x轴和y轴的实际加速度ax和ay。

Z(k)是k时刻传感器测量量，就是传感器测得的x轴和y轴的加速度数值zx和zy。

V(k)是k时刻传感器噪声量，就是传感器本身测量x轴或y轴加速度时的噪声vx和vy。

根据我们上面的知识，我们很容易得到下面A框中的式子，从测量值计算实际的加速度值。

经过变形之后得到B框中的式子。

然后我们把B框中的式子写成矩阵的形式，就变成了C框中的形式。

自然就明白了H矩阵的意义，H矩阵可以让我们很方便的在传感器测量值-32768-32767与实际加速度值-4g~4g之间进行多维转换（因为同时转换了x轴和y轴加速度，是两个维度同时转换）。

而C框中红框这个式子就是我们的测量模型。

测量模型反应传感器测量值与实际状态量之间的转换关系。

卡尔曼滤波融合什么数据？（先验估计与测量估计）

上面我们搞明白了卡尔曼滤波的本质目的，就是通过数据融合得到一个相对准确的数据。

那么我们在卡尔曼滤波中，到底是在对哪些数据进行数据融合呢？

先验估计与测量估计！

我们看下面的式子，A框里面的式子是我们的离散物理模型和测量模型。

C框里面就是我们进行估计后得到的先验估计和测量估计。

如果不懂的话，看下面小球自由落体运动的例子，这个是高中物理学的。

X(k)是小球现在的位移，X(k-1)是小球上一时刻的位移。

自由落体是匀加速的运动学模型，然后将噪声忽略变成理想化模型，也就是说这个模型不准确了。

然后靠着这个理想化模型我们进行小球的位移预测，我们估计到的这个位移数值就是先验估计。

所以就得到了先验估计。

然后我们看测量估计，这时我们用上面一节的mpu6050的那个例子。

C框中是测量模型，忽略噪声之后，变成了D框中的形式。而状态量X(k)也因为我们忽略了噪声不准确了，所以这个时候我们从传感器得到的是个测量估计。

在这一节，搞明白了什么是先验估计和测量估计。

总结一下：

通过忽略模型噪声，通过数学模型进行理论上的估计得到的就是先验估计。

通过忽略测量噪声，通过传感器测量数值进行估计得到的就是测量估计。

那么接下来就是通过卡尔曼增益将他们融合起来了，就是求取加权平均值。

什么是过程噪声协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵（Q矩阵和R矩阵的意义是什么）？

Q是过程噪声协方差矩阵，那什么是过程噪声？什么是过程噪声协方差矩阵？

很多文章说Q矩阵和R矩阵靠经验设置或者测量得到，但是你倒是告诉我怎么靠经验得到，或者怎么测量出来啊！说了跟没说一样。今天我们一定要搞明白这两个矩阵如何精确得跑到手掌心。

比如我有一个mpu6050，他集成了三轴加速度和三轴角速度传感器，能够输出这六个状态量.

但是我实际工作时由于是做的平衡小车，因此只需要知道一个倾角就行。

所以我现在只专注于mpu6050传感器的一个倾角。

噪声

这里噪声我们理解成一个高斯分布。

mpu6050小例程（读取一个角度）

这里介绍一个mpu6050小例程，因为接下来要边说边做实验了，所以先把实验搞明白。方便接下来采集数据，分离噪声，计算方差和协方差以及协方差矩阵等一系列操作。

mpu6050中，比较重要的两个倾角是俯仰角和横滚角，航向角通常代表前进的方向，所以暂时先不考虑航向角。

我们先只对俯仰角和横滚角中的一个倾角进行研究分析。

#include "Wire.h"          //I2C通讯库
#include "I2Cdev.h"        //
#include "MPU6050.h"       //mpu6050库MPU6050 mympu;             //定义mympu对象float pi=3.1415926;             //Π的值，用于单位转换
float AcceRatio=16384.0;        //加速度计比例系数
float GyroRatio=131.0;          //陀螺仪比例系数
//定义3个变量，用于存储倾角数据
float angle_x=0.0,angle_y=0.0,angle_z=0.0;
int16_t ax=0,ay=0,az=0,gx=0,gy=0,gz=0;     //加速度计陀螺仪原始数据
float accx=0.0,accy=0.0,accz=0.0;void setup(){   Wire.begin(18, 5, 400000);//开启iic通讯，mpu6050的数据传输协议为iicSerial.begin(115200);//打开串口mympu.initialize();  //初始化mpu6050
}void loop() {//通过调用该函数，一次性从mpu6050获取6轴数据mympu.getMotion6(&ax,&ay,&az,&gx,&gy,&gz);accx=ax/AcceRatio;              //x轴加速度accy=ay/AcceRatio;              //y轴加速度accz=az/AcceRatio;              //z轴加速度angle_x=(atan(accx/accz)*180/pi); //计算身体前后的倾角，绕y轴的转角angle_y=(atan(accy/accz)*180/pi); //计算身体左右的倾角，绕x轴的转角Serial.print(az);Serial.print("     ");//将z轴加速度原始数据输出Serial.print(accx);Serial.print("     ");//将3轴加速度输出（单位:g)Serial.print(accy);Serial.print("     ");//将两个转角从串口输出Serial.print(accz);Serial.print("     ");//将两个转角从串口输出Serial.print(angle_x);Serial.print("     ");//将两个转角从串口输出Serial.print(angle_y);Serial.println("   ");delay(100);
}

mpu6050小例程（采集角度噪声）

#include "Wire.h"               //I2C通讯库
#include "I2Cdev.h"             //
#include "MPU6050.h"            //mpu6050库MPU6050 mympu;                  //定义mympu对象float pi=3.1415926;             //Π的值，用于单位转换
float AcceRatio=16384.0;        //加速度计比例系数
float GyroRatio=131.0;          //陀螺仪比例系数
//定义3个变量，用于存储倾角数据
float angle_x=0.0,angle_y=0.0,angle_z=0.0;
int16_t ax=0,ay=0,az=0,gx=0,gy=0,gz=0;     //加速度计陀螺仪原始数据
float accx=0.0,accy=0.0,accz=0.0;void setup(){   Wire.begin(33, 32, 400000);              //开启iic通讯，mpu6050的数据传输协议为iicSerial.begin(115200);                    //打开串口mympu.initialize();                      //初始化mpu6050
}void loop() {float angle_ys[100],angle_yerr[100];float angle_y_sum=0.0;                    //采集到的100个倾角的和float angle_y_ave=0.0;                    //倾角平均值float angle_yerr_sum=0.0;float angle_yerr_ave=0.0;                 //噪声平均值float angle_yerr_sigma2=0.0;              //噪声方差for(int i=0;i<100;i++){//通过调用该函数，一次性从mpu6050获取6轴数据,ax,ay,az分别是x轴，y轴，z轴加速度;gx,gy,gz分别是角速度mympu.getMotion6(&ax,&ay,&az,&gx,&gy,&gz);accx=ax/AcceRatio;                       //x轴加速度accy=ay/AcceRatio;                       //y轴加速度accz=az/AcceRatio;                       //z轴加速度angle_x=(atan(accx/accz)*180/pi);        //计算前后的倾角，绕y轴的转角angle_y=(atan(accy/accz)*180/pi);        //计算左右的倾角，绕x轴的转角angle_ys[i]=angle_y;angle_y_sum+=angle_y;                    //只研究angle_ySerial.print(angle_y);Serial.print(" ");delay(10);}Serial.println();angle_y_ave=angle_y_sum/100.0;for(int i=0;i<100;i++){angle_yerr[i]=angle_ys[i]-angle_y_ave;  //现在angle_yerr数组存的即为噪声Serial.print(angle_yerr[i]);Serial.print(" ");}Serial.println();delay(10000);
}

mpu6050小例程（计算角度噪声的方差）

#include "Wire.h"               //I2C通讯库
#include "I2Cdev.h"             //
#include "MPU6050.h"            //mpu6050库MPU6050 mympu;                  //定义mympu对象float pi=3.1415926;             //Π的值，用于单位转换
float AcceRatio=16384.0;        //加速度计比例系数
float GyroRatio=131.0;          //陀螺仪比例系数
//定义3个变量，用于存储倾角数据
float angle_x=0.0,angle_y=0.0,angle_z=0.0;
int16_t ax=0,ay=0,az=0,gx=0,gy=0,gz=0;     //加速度计陀螺仪原始数据
float accx=0.0,accy=0.0,accz=0.0;void setup(){   Wire.begin(33, 32, 400000);              //开启iic通讯，mpu6050的数据传输协议为iicSerial.begin(115200);                    //打开串口mympu.initialize();                      //初始化mpu6050
}void loop() {float angle_ys[100],angle_yerr[100];float angle_y_sum=0.0;                    //采集到的100个倾角的和float angle_y_ave=0.0;                    //倾角平均值float angle_yerr_sum=0.0;float angle_yerr_ave=0.0;                 //噪声平均值float angle_yerr_sigma2=0.0;              //噪声方差for(int i=0;i<100;i++){//通过调用该函数，一次性从mpu6050获取6轴数据,ax,ay,az分别是x轴，y轴，z轴加速度;gx,gy,gz分别是角速度mympu.getMotion6(&ax,&ay,&az,&gx,&gy,&gz);accx=ax/AcceRatio;                       //x轴加速度accy=ay/AcceRatio;                       //y轴加速度accz=az/AcceRatio;                       //z轴加速度angle_x=(atan(accx/accz)*180/pi);        //计算前后的倾角，绕y轴的转角angle_y=(atan(accy/accz)*180/pi);        //计算左右的倾角，绕x轴的转角angle_ys[i]=angle_y;angle_y_sum+=angle_y;                    //只研究angle_ySerial.print(angle_y);Serial.print(" ");delay(10);}Serial.println();angle_y_ave=angle_y_sum/100.0;for(int i=0;i<100;i++){angle_yerr[i]=angle_ys[i]-angle_y_ave;  //现在angle_yerr数组存的即为噪声angle_yerr_sum+=angle_yerr[i];Serial.print(angle_yerr[i]);Serial.print(" ");}Serial.println();angle_yerr_ave=angle_yerr_sum/100.0;//计算噪声方差for(int i=0;i<100;i++)angle_yerr_sigma2+=(angle_yerr[i]-angle_yerr_ave)*(angle_yerr[i]-angle_yerr_ave);angle_yerr_sigma2=angle_yerr_sigma2/100.0;Serial.println(angle_yerr_sigma2,4);delay(10000);
}

因为我们在arduino程序中从串口分别输出了三行数据，第一行是角度angle,第二行是噪声angle_error，第三行是噪声的方差。

所以，我们很方便的就可以把这些数据放到matlab中进行验证。我们发现angle和angle_error的方差一模一样，这就对了，因为angle本身包含真值和噪声，而真值就是这个时候的真实倾角，由于我们把mpu6050静止放置，所以这个是一个客观的定值，不会改变，所以他的方差肯定是0.所以angle的方差实际上就是完全受噪声影响的，跟噪声方差等价。

从matlab中绘的图也可以看出来。

过程噪声就是先验估计的误差。

mpu6050小例程（读取角加速度）

三个角速度分量均以“度/秒”为单位，能够表示的角速度范围，即倍率可统一设定，有4个可选倍率：250度/秒、500度/秒、1000度/秒、2000度/秒。倍率默认设定为250度/秒。

#include "Wire.h"               //I2C通讯库
#include "I2Cdev.h"             //
#include "MPU6050.h"            //mpu6050库MPU6050 mympu;                  //定义mympu对象float pi=3.1415926;             //Π的值，用于单位转换
float AcceRatio=16384.0;        //加速度计比例系数
float BetaRatio=32768.0;        //加速度计比例系数
float GyroRatio=131.0;          //陀螺仪比例系数
//定义3个变量，用于存储倾角数据
float angle_x=0.0,angle_y=0.0,angle_z=0.0;
float beta_x=0.0,beta_y=0.0,beta_z=0.0;
int16_t ax=0,ay=0,az=0,gx=0,gy=0,gz=0;     //加速度计陀螺仪原始数据
float accx=0.0,accy=0.0,accz=0.0;void setup(){   Wire.begin(33, 32, 400000);              //开启iic通讯，mpu6050的数据传输协议为iicSerial.begin(115200);                    //打开串口mympu.initialize();                      //初始化mpu6050
}void loop() {//通过调用该函数，一次性从mpu6050获取6轴数据,ax,ay,az分别是x轴，y轴，z轴加速度;gx,gy,gz分别是角速度mympu.getMotion6(&ax,&ay,&az,&gx,&gy,&gz);beta_x=250.0*gx/BetaRatio;                       //x轴角速度beta_y=250.0*gy/BetaRatio;                       //y轴角速度beta_z=250.0*gz/BetaRatio;                       //z轴角速度Serial.print(beta_x);Serial.print(",");Serial.print(beta_y);Serial.print(",");Serial.print(beta_z);Serial.println();delay(1);
}

mpu6050小例程（计算角加速度方差-即角加速度噪声方差）

#include "Wire.h"               //I2C通讯库
#include "I2Cdev.h"             //
#include "MPU6050.h"            //mpu6050库MPU6050 mympu;                  //定义mympu对象float pi=3.1415926;             //Π的值，用于单位转换
float AcceRatio=16384.0;        //加速度计比例系数
float BetaRatio=32768.0;        //加速度计比例系数
float GyroRatio=131.0;          //陀螺仪比例系数
//定义3个变量，用于存储倾角数据
float angle_x=0.0,angle_y=0.0,angle_z=0.0;
float beta_x=0.0,beta_y=0.0,beta_z=0.0;
int16_t ax=0,ay=0,az=0,gx=0,gy=0,gz=0;     //加速度计陀螺仪原始数据
float accx=0.0,accy=0.0,accz=0.0;void setup(){   Wire.begin(33, 32, 400000);              //开启iic通讯，mpu6050的数据传输协议为iicSerial.begin(115200);                    //打开串口mympu.initialize();                      //初始化mpu6050
}void loop() {float beta_xs[100],angle_yerr[100];float beta_x_sum=0.0,beta_x_ave=0.0;float angle_yerr_sigma2=0.0;              //噪声方差for(int i=0;i<100;i++){//通过调用该函数，一次性从mpu6050获取6轴数据,ax,ay,az分别是x轴，y轴，z轴加速度;gx,gy,gz分别是角速度mympu.getMotion6(&ax,&ay,&az,&gx,&gy,&gz);beta_x=250.0*gx/BetaRatio;                       //x轴角速度    beta_xs[i]=beta_x;Serial.print(beta_x);Serial.print(" ");beta_x_sum+=beta_x;delay(10);}Serial.println();beta_x_ave=beta_x_sum/100.0;for(int i=0;i<100;i++)angle_yerr_sigma2+=(beta_xs[i]-beta_x_ave)*(beta_xs[i]-beta_x_ave);angle_yerr_sigma2=angle_yerr_sigma2/100.0;Serial.println(angle_yerr_sigma2,4);delay(10000);
}

mpu6050小例程（计算角度与角加速度噪声协方差）

#include "Wire.h"               //I2C通讯库
#include "I2Cdev.h"             //
#include "MPU6050.h"            //mpu6050库MPU6050 mympu;                  //定义mympu对象float pi=3.1415926;             //Π的值，用于单位转换
float AcceRatio=16384.0;        //加速度计比例系数
float BetaRatio=32768.0;        //加速度计比例系数
float GyroRatio=131.0;          //陀螺仪比例系数
//定义3个变量，用于存储倾角数据
float angle_x=0.0,angle_y=0.0,angle_z=0.0;
float beta_x=0.0,beta_y=0.0,beta_z=0.0;
int16_t ax=0,ay=0,az=0,gx=0,gy=0,gz=0;     //加速度计陀螺仪原始数据
float accx=0.0,accy=0.0,accz=0.0;void setup(){   Wire.begin(33, 32, 400000);              //开启iic通讯，mpu6050的数据传输协议为iicSerial.begin(115200);                    //打开串口mympu.initialize();                      //初始化mpu6050
}void loop() {float angle_ys[100];                      //采集100个倾角angle_y存储到angle_ys数组float angle_y_sum=0.0,angle_y_ave=0.0;    //100个倾角angle_y之和、平均值float angle_y_sigma2=0.0;                 //倾角angle_y噪声方差float beta_xs[100];                       //采集100个角速度beta_x存储到beta_xs数组float beta_x_sum=0.0,beta_x_ave=0.0;      //100个角速度beta_x之和、平均值float beta_x_sigma2=0.0;                  //角速度beta_x噪声方差float CovAngleyBetax=0.0;for(int i=0;i<100;i++){//通过调用该函数，一次性从mpu6050获取6轴数据,ax,ay,az分别是x轴，y轴，z轴加速度;gx,gy,gz分别是角速度mympu.getMotion6(&ax,&ay,&az,&gx,&gy,&gz);accy=ay/AcceRatio;                       //y轴加速度accz=az/AcceRatio;                       //z轴加速度angle_y=(atan(accy/accz)*180/pi);        //计算倾角angle_yangle_ys[i]=angle_y;angle_y_sum+=angle_y;                    //累加angle_y用于求取平均值beta_x=250.0*gx/BetaRatio;               //x轴角速度    beta_xs[i]=beta_x;                       //累加beta_x用于求取平均值beta_x_sum+=beta_x;delay(10);}Serial.println();angle_y_ave=angle_y_sum/100.0;             //100个倾角平均值angle_y_avebeta_x_ave=beta_x_sum/100.0;               //100个角速度平均值beta_x_ave//计算100个倾角angle_y方差for(int i=0;i<100;i++)angle_y_sigma2+=(angle_ys[i]-angle_y_ave)*(angle_ys[i]-angle_y_ave);angle_y_sigma2=angle_y_sigma2/100.0;Serial.println(angle_y_sigma2,6);//计算100个角速度beta_x方差for(int i=0;i<100;i++)beta_x_sigma2+=(beta_xs[i]-beta_x_ave)*(beta_xs[i]-beta_x_ave);beta_x_sigma2=beta_x_sigma2/100.0;Serial.println(beta_x_sigma2,6);//计算100个倾角angle_y和100个角速度beta_x协方差for(int i=0;i<100;i++)CovAngleyBetax+=(angle_ys[i]-angle_y_ave)*(beta_xs[i]-beta_x_ave);CovAngleyBetax=CovAngleyBetax/100.0;Serial.println(CovAngleyBetax,6);delay(10000);
}

可以在下方看到，打印出来了这些数值，方差比协方差大几十倍，至少都差了一个数量级。

非常小可以忽略，这也印证了非相关量的协方差为零的数学性质。

R矩阵

我们的R矩阵就是噪声协方差矩阵，只需要把测得的这些数值填进去就可以了。

Q矩阵

既然R矩阵已经有了，现在我们把Q矩阵也求出来。

引例及思路

推导卡尔曼增益K

计算Pk的先验矩阵

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