图中的搜索—

Dijkstra(迪杰斯特拉算法)常常用于求解图中的单点最短路径问题。其主要实现方法可拆分为两个步骤：①更新距离信息②找出当前最小路径

如下图所示，要求求出1结点到6结点的最短路径。

我们可以先定义一下重点内容：

邻接矩阵map[i][j]：表示i点到j点之间的距离，若两点间无边相连，距离设为无穷大INF（一个很大的数）

数组dis[i]，表示从起点到i点的最短路径值

数组vis[i]，表示到达i点是否已经被求出最短路径。若为true，则该点相当于位于已选定点集合，若为false，则相当于位于未选定点集合

则初始时，1结点为已访问，即vis[1]=ture，dis[1]=0。其含义为1结点处于已选定点集合，其到其他任意一个结点的距离都为INF。如图：

第一步：更新距离信息：搜索所有处于未选定点集合且与当前结点（1结点）相邻的结点，若新路径的距离加上到达当前结点（1结点）的距离之和小于原有距离，则更新对应dis数组。如图：

此时表格如下：

第二步：找出当前处于未访问状态下dis数组中距离最小的那一个，并将其标记为已访问，即将其放入已选定点集合。下一步则以此结点为起点重复上述步骤。

如表中3结点当前距离最小，则将其放入已选定点集合，即设置vis[3]=T；下一步以3结点为当前结点重复上述第一步。即:搜索与3结点相邻且位于未选定点集合（vis[i]==false）的结点，更新dis数组。

此时，在未选定点集合中，到达4结点距离最短，则将其标记为已访问，下一步再以4结点为起点重复上述步骤，直到所有结点均被访问。

代码实现：

dij算法部分：

int dij(int n)//默认1是起始点，n是终点
{for (int i = 1;i <= n;i++){dis[i] = map[1][i];//先表示起始点到各点距离，如果没有连接就是inf，这个1是初始点 vis[i]=false;}for (int i = 1;i < n;i++)//除了起始点还有n-1个点要判断{int k = 0;int min = inf;for (int j = 1;j <= n;j++){if (vis[j] == false && dis[j] <= min){min = dis[j];k = j;}}vis[k] = true;//更新距离信息for (int j = 1;j <= n;j++){if (vis[j] == false && dis[k] + map[k][j] < dis[j]){dis[j] = dis[k] + map[k][j];}}}return dis[n];
}

主函数如下：

#include<iostream>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define MAXN 10010
using namespace std;
int map[MAXN][MAXN];
int dis[MAXN];
bool vis[MAXN];int dij(int n)//默认了1是起始点，n是终点
{...
}int main()
{int n;cin >> n;//几个结点 for (int i = 1;i <= n;i++){for (int j = 1;j <= n;j++){if (i == j) map[i][j] = 0;else map[i][j] = inf;}}int i, j, d;while (1){cin >> i >> j >> d;if(i==-1) break;map[i][j] = map[j][i] = d;}cout << dij(6) << endl;
}/*
6
1 2 8
1 3 1
2 3 5
2 4 3
3 5 4
3 4 2
4 5 3
4 6 1
5 6 2
-1 -1 -1
*/

另外，若路径起始结点不为1结点，只需为dij函数新增一个变量，并修改对dis数组的初始赋值即可，如下

int dij(int s,int n)//s是起始点，n是终点
{for (int i = 1;i <= n;i++){dis[i] = map[s][i];//仅需修改此处即可 vis[i]=false;}...
}

基于邻接矩阵的dij算法其时间复杂度为O()，因其每次选取距离顶点最近的点需要O(N)的时间，对此，我们可以采用堆进行优化，使其时间复杂度降到O(logN)。相应题目及代码可参考洛谷 P3371

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