codeforces 717A

题目大意

给定l,r,kl,r,k，求出：

∑i=lr(fi+2k)

\sum_{i=l}^r \binom{f_{i+2}}{k}
f(n)=n,n≤1f(n) = n,n \leq 1
f(n)=f(n−1)+f(n−2),n>1f(n)=f(n-1)+f(n-2),n>1

数据范围

k≤500k \leq 500,0≤l≤r≤10180 \leq l \leq r \leq 10^{18}

题解

因为(xk)=x!k!(x−k)!\binom{x}{k} = \frac{x!}{k!(x-k)!}，因此(xk)\binom{x}{k}可以写成一个kk次的多项式，再前缀和减一下，问题变成要求：

∑i=0rfki

\sum_{i=0}^r f_i^k
令a=1+5√2,b=1−5√2a=\frac{1+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}，我们知道：
fn=5√5(an−bn)f_n = \frac{\sqrt{5}}{5}\left(a^n-b^n\right)，因此有：

===∑i=0rfki∑i=0r(5√5(ai−bi))k(5√5)k∑i=0r∑j=0k(kj)aij(−b)i(k−j)(5√5)k∑j=0k(−1)k−j(kj)∑i=0n(ajbk−j)i

\begin{aligned} &\sum_{i=0}^r f_i^k \\ =&\sum_{i=0}^r \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\left(a^i-b^i\right)\right)^k \\ =&\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^k \sum_{i=0}^r \sum_{j=0}^k \binom{k}{j}a^{ij}(-b)^{i(k-j)}\\ =&\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^k \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j}\sum_{i=0}^n \left(a^jb^{k-j}\right)^i\\ \end{aligned}
我们现在将每个数表示成 x=a+b5√x=a+b\sqrt{5}的形式，我们可以很轻松的定义这些数的加减乘运算，那么最后我们相当于枚举 jj，求出x=ajbk−jx=a^jb^{k-j}，然后倍增地求出 ∑ni=0xi\sum_{i=0}^n x^i，最后乘上 (5√5)k\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^k即可。
因为每个 fif_i都是整数，因此最终求出来的数 xx的bb必然为0，直接返回实数部分就好了。
时间复杂度：
O(k2logr)O(k^2\log r)

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