1. 期望定义

2. 期望性质

2.1 用期望定义方差 / 标准差

方差定义

标准差定义

方差的表示——离散型：

方差的表示——连续型：

方差的性质

3. (一元)高斯分布定义

4. (一元)高斯分布的性质

5. 二维随机向量的数学期望E与方差σ

参考

1. 期望定义

2. 期望性质

其中，第2条性质： E(EX) = EX：对变量X的期望再求期望，等于X的期望；同理，对 $X^2$ 的期望再求期望，依然还是X的期望。

对于第4条性质，注意条件是X,Y 相互独立，若不独立则不成立：比如 $E(XX) \neq E(X)E(X)$ , 即

$E(X^2)\neq E^2(X)$

期望有时还用 $\mathbf{\mu }$ 表示，即 $\mu = E(X)$ 或表示为 $\mu = EX$ 。

2.1 用期望定义方差 / 标准差

方差定义

设X为随机变量，若 $E[(X-EX)^2]$ （变量X减去自己的期望后的平方，再求期望）存在，则称为随机变量X的方差，记作DX ,或者 D(X)，或Var(X)，即:

$DX = E[(X-EX)^2]$ 或者 $Var(X) = E[(X-EX)^2]$

或者表示为 $Var(X) = E(X-EX)^2$ ，（该式先计算平方，后计算期望）

拓展：若有两个变量X,Y 则 $COV = E[(X-EX)(Y-EY)]$ 就是协方差了

标准差定义

一般用 $\sigma$ 表示标准差：

$\sigma = \sqrt{Var(X)}$ , 或者表示为 $\sigma = \sqrt{E[(X-EX)^2]}$

方差的表示——离散型：

方差的表示——连续型：

方差的性质

其中，第3条等式中的最后一项，是先求(X-EX)(Y-EY),再求其期望。即

对于第6条性质，若X服从 0均值的高斯分布，表示为 $X\sim (0,\sigma ^2)$ ，即 $E(X) = 0$ ，则：

方差就等于自变量X平方的期望，即

$D(X) = \sigma ^2 = E(X^2)$

注意第7条性质：X的平方的期望和 X期望的平方是不一样的，两者的差等于X的方差。

3. (一元)高斯分布定义

一元高斯分布：只有一个自变量X的概率分布.

高斯分布，也称为正态分布，是一种概率密度函数, 数学表达式为：

其中 μ是分布的的平均值（等于期望值），σ 是标准差．上式也通常记为 $x\sim N(\mu ,\sigma^2)$ ．满足归一化条件

高斯密度函数的函数曲线如下：

若高斯分布服从 N(0,1)，则被称为标准正态分布(均值为0，标准差为1)

4. (一元)高斯分布的性质

高斯分布的期望，等于变量的均值

其中，p(x)表示对自变量的一个映射函数。

5. 二维随机向量的数学期望E与方差σ

二维随机向量的数学期望E与方差σ_惊鸿一博的博客-CSDN博客

参考

期望、方差的性质 - 知乎

高斯分布期望的推导_一只驽马的博客-CSDN博客

高斯分布（正态分布） - 小时百科

高斯分布的几个性质 - 知乎

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方差的表示——离散型：

方差的表示——连续型：

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