Codeforces Gym 102956 C. Brave Seekers of Unicorns(位运算 + dp)

链接：C. Brave Seekers of Unicorns

题意：
给你一个数 n (1 ≤ \leq ≤ n ≤ \leq ≤ 1e6),要求出有多少个严格单调递增的序列满足任意三个相邻的数满足 a[ i - 1] ⨁ \bigoplus ⨁ a[ i ] ⨁ \bigoplus ⨁a[ i + 1] ≠ \neq = 0 .
思路：
考虑dp , dp[ i ]表示有多少个以 i 为结尾的合法序列，那么不难得到转移方程 dp[ i ] = ∑ j = 1 i − 1 \sum_{j=1}^{i - 1} ∑j=1i−1 dp[ j ] - dp[i ⨁ \bigoplus ⨁j] (i ⨁ \bigoplus ⨁ j < j).
对于前半部分我们可以直接用前缀和求出，后半部分其实就是求对于每一个 i, 求出有多少个 i ⨁ \bigoplus ⨁ j < j ,这里推一推就能得到一个结论对于 i 的二进制位，如果第 x 位为 1，那么 2 x 2^{x} 2x 到 2 x + 1 − 1 2^{x+1}−1 2x+1−1 之间的数都是满足的(最高位除外)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ioss ios::sync_with_stdio(false);cout.tie(NULL)
const int maxn=4e6 + 7;
const int mod = 998244353;
int n;
ll dp[maxn],pre[maxn];
int main(){scanf("%d",&n);for(int i = 1; i <= n; i ++){dp[i] = (pre[i - 1] + 1) % mod;int pos = -1;for(int j = 0; j < 30; j ++){if((i >> j) & 1) pos = j;}for(int j = pos - 1; j >= 0; j --){if((i >> j) & 1){dp[i] = (dp[i] - (pre[(1 << (j + 1)) - 1] - pre[(1 << j) - 1]) + mod) % mod;}}pre[i] = (pre[i - 1] + dp[i]) % mod;}printf ("%lld\n",pre[n]);
}

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