机器学习教程之 EM算法：高斯混合模型聚类算法 (python基于《统计学习方法》实现，附数据集和代码)

之前写过一篇博客讲述极大似然方法，这一方法通常适用于知道观测数据 Y Y Y，求解模型参数 θ \theta θ的场合，即 P ( Y ∣ θ ) P(Y|\theta) P(Y∣θ)。
但是，在更多场合除了模型参数是未知的外，还有隐变量 Z Z Z也是未知的，即 P ( Y , Z ∣ θ ) P(Y,Z|\theta) P(Y,Z∣θ)。多个隐藏模型的混合，会使得普通的极大似然方法用起来不是那么方便，比如求解高斯混合模型(GMM), 隐马尔可夫模型(HMM),等。这种时候，就会发觉EM算法是机器学习领域中绕不过去的一道坎。

这里，主要基于《统计学习方法》里对于高斯混合模型的讲解，实现EM算法,并给出代码和注释。
在实现模型之前，观察过其他人写的代码，包括sklearn内部的代码，相比较而言，这次的实现封装的更好，使用会更方便，结果也不错。

先描述一下实现的原理，再说代码

一、EM算法解高斯混合模型

假设观测数据 y 1 , y 2 , . . . , y N y_{1},y_{2},...,y_{N} y1,y2,...,yN由3高斯混合模型生成，即
P ( y ∣ θ ) = ∑ k = 1 K a k ϕ ( y ∣ θ k ) P(y|\theta)=\sum_{k=1}^{K}a_{k}\phi(y|\theta_{k}) P(y∣θ)=k=1∑Kakϕ(y∣θk)
其中 θ = ( a 1 , a 2 , . . . , a k ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ k ) \theta=(a_{1},a_{2},...,a_{k};\theta_{1},\theta_{2},...,\theta_{k}) θ=(a1,a2,...,ak;θ1,θ2,...,θk), 我们用EM算法估计高斯混合模型的参数 θ \theta θ

1.0 EM算法：初始化模型参数

1.1 EM算法的E步：确定Q函数

混合高斯模型的Q函数为：
Q ( θ , θ i ) = ∑ k = 1 K { ∑ j = 1 N ( E γ j k ) l o g a k + ∑ j = 1 N ( E γ j k ) [ l o g ( 1 / 2 π ) − l o g ( σ k ) − ( 1 / 2 σ k 2 ) ( y j − u k ) 2 ] Q(\theta,\theta^{i})=\sum_{k=1}^{K}\{\sum_{j=1}^{N}(E_{\gamma_{jk}})loga_{k}+\sum_{j=1}^{N}(E_{\gamma_{jk}})[log(1/\sqrt{2\pi})-log(\sigma_{k})-(1/2\sigma_{k}^{2})(y_{j}-u_{k})^{2}] Q(θ,θi)=k=1∑K{j=1∑N(Eγjk)logak+j=1∑N(Eγjk)[log(1/2π )−log(σk)−(1/2σk2)(yj−uk)2]
这里需要计算 E ( γ j k ∣ y , θ ) E(\gamma_{jk}|y,\theta) E(γjk∣y,θ),记为 γ ^ j k \hat{\gamma}_{jk} γ^jk
γ ^ j k = a k ϕ ( y j ∣ θ k ) ∑ k = 1 K a k ϕ ( y j ∣ θ k ) , j = 1 , 2 , . . . , N ; k = 1 , 2 , . . . , K \hat{\gamma}_{jk}=\frac{a_{k}\phi(y_{j}|\theta_{k})}{\sum_{k=1}^{K}a_{k}\phi(y_{j}|\theta_{k})},j=1,2,...,N;k=1,2,...,K γ^jk=∑k=1Kakϕ(yj∣θk)akϕ(yj∣θk),j=1,2,...,N;k=1,2,...,K γ ^ j k \hat{\gamma}_{jk} γ^jk是当前模型参数下第 j j j个观测数据来自第 k k k个分模型的概率，称为分模型 k k k对观测数据 y j y_{j} yj的影响度

1.2EM算法的M步：更新模型参数

M步极大化Q函数，更新模型参数如下：
u ^ k = ∑ j = 1 N γ ^ j k y j ∑ j = 1 N γ ^ j k , k = 1 , 2... , K \hat{u}_{k}=\frac{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}y_{j}}{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}},k=1,2...,K u^k=∑j=1Nγ^jk∑j=1Nγ^jkyj,k=1,2...,K σ ^ k 2 = ∑ j = 1 N γ ^ j k ( y j − u k ) 2 ∑ j = 1 N γ ^ j k , k = 1 , 2... , K \hat{\sigma}_{k}^{2}=\frac{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}(y_{j}-u_{k})^{2}}{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}},k=1,2...,K σ^k2=∑j=1Nγ^jk∑j=1Nγ^jk(yj−uk)2,k=1,2...,K a ^ k = ∑ j = 1 N γ ^ j k N , k = 1 , 2... , K \hat{a}_{k}=\frac{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}}{N},k=1,2...,K a^k=N∑j=1Nγ^jk,k=1,2...,K
重复E步和M步直到模型收敛

二、EM算法求解高斯混合模型

from sklearn.datasets import load_digits, load_iris
from scipy.stats import multivariate_normal
from sklearn import preprocessing
from sklearn.metrics import accuracy_score
import numpy as npclass GMM_EM():def __init__(self,n_components,max_iter = 1000,error = 1e-6):self.n_components = n_components  #混合模型由几个gauss模型组成self.max_iter = max_iter  #最大迭代次数self.error = error  #收敛误差self.samples = 0self.features = 0self.alpha = []   #存储模型权重self.mu = []   #存储均值self.sigma = []   #存储标准差def _init(self,data):   #初始化参数np.random.seed(7)self.mu = np.array(np.random.rand(self.n_components, self.features))self.sigma = np.array([np.eye(self.features)/self.features] * self.n_components)self.alpha = np.array([1.0 / self.n_components] * self.n_components)print(self.alpha.shape,self.mu.shape,self.sigma.shape)def gauss(self, Y, mu, sigma):  #根据模型参数和数据输出概率向量return multivariate_normal(mean=mu,cov=sigma+1e-7*np.eye(self.features)).pdf(Y)def preprocess(self,data):   # 数据预处理self.samples = data.shape[0]self.features = data.shape[1]pre = preprocessing.MinMaxScaler()return pre.fit_transform(data)def fit_predict(self,data):   #拟合数据data = self.preprocess(data)self._init(data)weighted_probs = np.zeros((self.samples,self.n_components))for i in range(self.max_iter):prev_weighted_probs = weighted_probsweighted_probs = self._e_step(data)change = np.linalg.norm(weighted_probs - prev_weighted_probs) if change < self.error:breakself._m_step(data,weighted_probs)return weighted_probs.argmax(axis = 1)def _e_step(self,data):   # E步probs = np.zeros((self.samples,self.n_components))for i in range(self.n_components):probs[:,i] = self.gauss(data, self.mu[i,:], self.sigma[i,:,:])weighted_probs = np.zeros(probs.shape)for i in range(self.n_components):weighted_probs[:,i] = self.alpha[i]*probs[:,i]for i in range(self.samples):weighted_probs[i,:] /= np.sum(weighted_probs[i,:])return weighted_probsdef _m_step(self,data,weighted_probs):  #M步for i in range(self.n_components):sum_probs_i = np.sum(weighted_probs[:,i])self.mu[i,:] = np.sum(np.multiply(data, np.mat(weighted_probs[:, i]).T), axis=0) / sum_probs_iself.sigma[i,:,:] = (data - self.mu[i,:]).T * np.multiply((data - self.mu[i,:]), np.mat(weighted_probs[:, i]).T) / sum_probs_iself.alpha[i] = sum_probs_i/data.shape[0]def predict_prob(self,data):  #预测概率矩阵return self._e_step(data)def predict(self,data):  #输出类别return self._e_step(data).argmax(axis = 1)dataset = load_iris()
data = dataset['data']
label = dataset['target']gmm = GMM_EM(3)
pre_label = gmm.fit_predict(data)
print(accuracy_score(pre_label,label))
# EM算法是对初始值敏感的，修改初始化的值会发现模型性能变化很大

三、资源下载

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