定义

导向滤波是一个线性滤波，输出为由引导图III乘上输入图PPP得到的权重的加权平均。

iii和jjj是像素下标，滤波核WijW_{ij}Wij为III的函数，其不依赖于ppp。

引导滤波器的关键假设是引导I和滤波器输出qqq之间的局部线性模型。我们假设qqq是III在以像素kkk为中心的窗口ωk\omega_kωk中的线性变换。

这里假设(aka_kak, bkb_kbk)在ωk\omega_kωk中为线性的常数。其中ωk\omega_kωk为一个半径为rrr的正方形窗口。在一个窗口ωk\omega_kωk内，只会确定一个aka_kak和bkb_kbk，但可以根据一个aka_kak和bkb_kbk，求出∣ω∣|\omega|∣ω∣个qiq_iqi。这个局部线性模型确保qqq只有在III有边缘时才有边缘，因为∇q∇q∇q = a∇Ia∇Ia∇I。

推导

利用岭回归确认参数aka_kak, bkb_kbk的值，也就是求下式的最小值：

其中ϵ\epsilonϵ是一个正则化参数，以防aka_kak过大。
可以认为qiq_iqi为pip_ipi去掉噪音nin_ini后的图片：

得出的结果如下：

其中μk\mu_kμk和σk2\sigma_k^2σk2是III在ωk\omega_kωk内的均值与方差。∣ω∣|\omega|∣ω∣是窗口内的像素数目。p‾k\overline{p}_kpk是窗口内ppp的均值。具体推导可参考：公式推导

将这个线性模型应用在整幅图像上的所有小窗口上，qiq_iqi在不同的小窗口内会有不同取值，所以需要将qiq_iqi取平均：

论文指出，一开始提出的加权平均的权重如下式：

其只取决于引导图像III。具体推导详见论文3.3。

ϵ\epsilonϵ值的影响

当I=pI=pI=p时，该算法即成为一个边缘保持滤波器。

Case 1：

如果某个窗口在平坦区域，那么该区域的方程σk2\sigma_k^2σk2将远远小于ϵ\epsilonϵ。从而ak≈0a_k\approx0ak≈0，bk≈p‾kb_k\approx\overline{p}_kbk≈pk，即相当于对该区域作均值滤波。

Case 2：

如果某个窗口在高方差区域，那么该区域的方程σk2\sigma_k^2σk2将远远大于ϵ\epsilonϵ。从而ak≈1a_k\approx1ak≈1，bk≈0b_k\approx0bk≈0，即相当于在区域保持原有梯度。

rrr与ϵ\epsilonϵ越大，图像越模糊，越趋于做均值滤波。

代码

输入图像必须得先进行归一化后再处理，否则滤波后会有超过255的值

def guided_filter(I,p,win_size,eps):mean_I = cv2.blur(I,(win_size,win_size))mean_p = cv2.blur(p,(win_size,win_size))corr_I = cv2.blur(I*I,(win_size,win_size))corr_Ip = cv2.blur(I*p,(win_size,win_size))var_I = corr_I-mean_I*mean_Icov_Ip = corr_Ip - mean_I*mean_pa = cov_Ip/(var_I+eps)b = mean_p-a*mean_Imean_a = cv2.blur(a,(win_size,win_size))mean_b = cv2.blur(b,(win_size,win_size))q = mean_a*I + mean_breturn q

参考文献

Guided Image Filtering
导向滤波(Guided Filter)公式详解

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定义

推导

ϵ\epsilonϵ值的影响

Case 1：

Case 2：

代码

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