【ZJOI2015】幻想乡战略游戏【点分树】【带权重心】

题意：nnn个点带边权的树，动态修改点权viv_ivi，最小化钦定一个点xxx 后 ∑idist(x,i)∗vi\sum\limits_{i} dist(x,i)*v_ii∑dist(x,i)∗vi的值。

n,q≤105n,q \leq10^5n,q≤105，度数不超过202020

限制度数的树上的一些诡异的操作，时限很长，多半是点分树。

也叫动态点分治，但实际上并不是动态的点分治并且有一定误导性，所以以后都叫点分树。

点分树是对一个树点分治后的结构建出的树，即在点分治时将下一层的重心的父亲设为当前的分治中心。

它具有以下常用的性质：

原树与点分树一个相同的点uuu的儿子vvv为根的子树一一对应。
点分树上两个点的lcalcalca 在原树上这两个点的路径上。
树高O(log⁡n)O(\log n)O(logn)

本质上是对树建出的线段树。

在本题中详细讲解。

首先本题实际上求的是带权重心

有个结论：

设当前点是uuu,如果vvv比uuu更优

那么有

len(u,v)∗(n−sumv−sumv)<0len(u,v)*(n-sum_v-sum_v)<0len(u,v)∗(n−sumv−sumv)<0

其中sumsumsum表示子树点权和

即

2sumv>n2sum_v>n2sumv>n

然后继续往下走

不难看出对于一个uuu，这样的vvv最多只有111个，所以答案一定在满足条件的vvv的子树内。如果没有这样的vvv说明uuu是带权重心。

这样是O(n)O(n)O(n)的，考虑搬到点分树上

从点分树的根开始往下走

设当前在uuu,我们找到点分树上uuu的一个儿子vvv

注意之前的结论只能往原树上相邻的点走，所以你不能直接用这个结论判断vvv

但是如果我们设uuu往 vvv在点分树上的子树的这个方向走一步到达的点是www

即：

（红色为点分树）

因为www在原树上的子树等于 vvv在点分树上的子树

我们想判断答案是否在 vvv在点分树上的子树内，可以转换为是否在 www在原树上的子树内

然而如果你判2∗sumv>sumrt2*sum_v>sum_{rt}2∗sumv>sumrt,会发现你还是WA了

原因是你钦定uuu为根之后，这棵树的形态已经确定了

你在点分树上一直往下走，实际上原树上仍然在乱跳

人话：只有第一层的www（原树）和vvv（点分树）的子树一样，后面的点分树上的子树在原树上甚至可能不是子树。

但是上面已经证明过最多只有一个vvv

我们可以直接算出uuu在原树上的每个儿子的答案和根结点比较，如果有一个www比根结点优，因为只有一个，说明答案在 www在原树上的子树（或vvv在点分树上的子树）内。

然后想象把这条边断开，化归到从vvv开始的子问题。

也就是说uuu和vvv并没有实质关联，只是从重心开始方便处理而已。

现在考虑如何计算一个点的答案

维护ansuans_uansu表示以faufa_ufau为根时，uuu在点分树上的子树中的点到faufa_ufau的帯权距离（距离*点权）之和，fafafa为在点分树上的父结点。

询问点xxx的答案时，先加入点分树上子结点的所有ansansans,然后在点分树上往上跳，把兄弟结点的子树中的所有点权挪到父亲上，再一起挪到xxx。因为树高O(log⁡n)O(\log n)O(logn)，可以保证复杂度。详见代码。

修改的时候暴力跳父亲修改sumsumsum和ansansans就可以了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <cassert>
#define MAXN 100005
#define MAXM 200005
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{int ans=0,f=1;char c=getchar();while (!isdigit(c)) (c=='-')&&(f=-1),c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return f*ans;
}
struct edge{int u,v,w;}e[MAXM];
int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;
void addnode(int u,int v,int w)
{e[++cnt]=(edge){u,v,w};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
int dis[MAXN],pos[MAXN],dfn[MAXM],up[MAXN],tim;
void dfs(int u)
{dfn[pos[u]=++tim]=u;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!pos[e[i].v]){dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w;up[e[i].v]=u;dfs(e[i].v);dfn[++tim]=u;}
}
int LOG[MAXM],st[20][MAXM];
inline int Min(const int& x,const int& y){return pos[x]<pos[y]? x:y;}
inline void init()
{LOG[0]=-1;for (int i=1;i<MAXM;i++) LOG[i]=LOG[i>>1]+1;for (int i=1;i<=tim;i++) st[0][i]=dfn[i];for (int i=1;i<20;i++)for (int j=1;j+(1<<(i-1))<=tim;j++)st[i][j]=Min(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<(i-1))]);
}
inline int lca(const int& x,const int& y)
{int l=pos[x],r=pos[y];if (l>r) swap(l,r);int t=LOG[r-l+1];return Min(st[t][l],st[t][r-(1<<t)+1]);
}
inline int dist(const int& x,const int& y){return dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)];}
int rt;
int siz[MAXN],maxp[MAXN]={0x7fffffff};
bool cut[MAXN];
void findrt(int u,int f,int sum)
{siz[u]=1,maxp[u]=0;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i].v!=f&&!cut[e[i].v]){findrt(e[i].v,u,sum);siz[u]+=siz[e[i].v],maxp[u]=max(maxp[u],siz[e[i].v]);}if (sum-siz[u]>maxp[u]) maxp[u]=sum-siz[u];if (maxp[u]<maxp[rt]) rt=u;
}
int getsiz(int u,int f)
{int ans=1;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i].v!=f&&!cut[e[i].v])ans+=getsiz(e[i].v,u);return ans;
}
int d[MAXN],sum[MAXN];
ll ans[MAXN];
int fa[MAXN];
vector<int> son[MAXN],top[MAXN];
void build()
{int u=rt;cut[u]=true;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!cut[e[i].v]){rt=0;findrt(e[i].v,0,getsiz(e[i].v,0));son[u].push_back(rt),top[u].push_back(e[i].v),fa[rt]=u;build();}
}
bool vis[MAXN];
void DFS(int u)
{assert(!vis[u]);vis[u]=true;for (int i=0;i<(int)son[u].size();i++)DFS(son[u][i]);
}
inline void modify(int x,int v)
{int u=x;for (;fa[x];x=fa[x]) sum[x]+=v,ans[x]+=(ll)dist(fa[x],u)*v;sum[x]+=v;
}
inline ll calc(int x)
{ll res=0;for (int i=0;i<(int)son[x].size();i++)res+=ans[son[x][i]];for (int u=fa[x],v=x;u;v=u,u=fa[u]){int tot=d[u];for (int i=0;i<(int)son[u].size();i++)if (son[u][i]!=v)res+=ans[son[u][i]],tot+=sum[son[u][i]];res+=(ll)tot*dist(u,x);      }return res;
}
inline ll query(int x)
{ll v=calc(x);for (int i=0;i<(int)son[x].size();i++)if (calc(top[x][i])<v)return query(son[x][i]);return v;
}
int main()
{int n,q;n=read(),q=read();for (int i=1;i<n;i++){int u,v,w;u=read(),v=read(),w=read();addnode(u,v,w),addnode(v,u,w);}dfs(1);init();int Rt;findrt(1,0,n),Rt=rt,build();while (q--){int x,v;x=read(),v=read();d[x]+=v,modify(x,v);printf("%lld\n",query(Rt));}return 0;
}

【ZJOI2015】幻想乡战略游戏【点分树】【带权重心】相关推荐

【BZOJ3924】[Zjoi2015]幻想乡战略游戏动态树分治
[BZOJ3924][Zjoi2015]幻想乡战略游戏 Description 傲娇少女幽香正在玩一个非常有趣的战略类游戏,本来这个游戏的地图其实还不算太大,幽香还能管得过来,但是不知道为什么现在的网 ...
[ZJOI2015] 幻想乡战略游戏——树链剖分
[ZJOI2015]幻想乡战略游戏题解由于所有边的边权是正整数,所以可以发现任何时刻每个点的答案是从最优的点往周围递增的.如果有平台,那么一定是在最优点的连通块那儿. 我们先考虑如何快速求每个点的 ...
P3345 [ZJOI2015]幻想乡战略游戏
P3345 [ZJOI2015]幻想乡战略游戏带修改带权重心这是经典的树上寻找关键点的题目,我们使用点分治处理这个问题,因为点分治的特性,就相当于在树上二分了.但是这与倍增不同,倍增只是在链上二分 ...
luogu_P3345[zjoi2015]幻想乡战略游戏
传送门 Description 傲娇少女幽香正在玩一个非常有趣的战略类游戏,本来这个游戏的地图其实还不算太大,幽香还能管得过来,但是不知道为什么现在的网游厂商把游戏的地图越做越大,以至于幽香一眼根本看 ...
[zjoi2015]幻想乡战略游戏
前言略略略题目相关链接题目大意给出一棵树,每次修改一个点的权值,维护一个带权重心啥是带权重心? 设点iii的值为ViV_iVi我们要选一个点uuu,每个点对应一个值: ∑v=1nVv∗d ...
BZOJ3924 : [Zjoi2015]幻想乡战略游戏
对于一个点,要求出它到所有点的带权距离和,只需记录下树分治的结构然后查询即可. 修改$O(\log n)$,查询$O(\log n)$. 到所有点带权距离和最小的点显然是这棵树的带权重心. 以1号点为 ...
【洛谷3345_BZOJ3924】[ZJOI2015]幻想乡战略游戏（点分树）
大概有整整一个月没更博客了 -- 4 月为省选爆肝了一个月,最后压线进 B 队,也算给 NOIP2018 翻车到 316 分压线省一这个折磨了五个月的 debuff 画上了一个不算太差的句号.结果省选 ...
LG P3345 [ZJOI2015]幻想乡战略游戏（树的带权重心 + 树链剖分+ 动态点分治）
题目首先这个题看起来这个最小值不好在动态点分治时维护. (居然)可以转化. 最小值于树的带权重心处取到. 带权带的是点权. 树的带权重心是子树权∗2>=总树权子树权*2>=总树权子树权∗ ...
【bzoj3924】[Zjoi2015]幻想乡战略游戏动态点分治
题目描述傲娇少女幽香正在玩一个非常有趣的战略类游戏,本来这个游戏的地图其实还不算太大,幽香还能管得过来,但是不知道为什么现在的网游厂商把游戏的地图越做越大,以至于幽香一眼根本看不过来,更别说和别人打 ...
Bzoj3924 [Zjoi2015]幻想乡战略游戏
Time Limit: 100 Sec Memory Limit: 256 MB Submit: 817 Solved: 376 Description 傲娇少女幽香正在玩一个非常有趣的战略类游戏 ...

【ZJOI2015】幻想乡战略游戏【点分树】【带权重心】

【ZJOI2015】幻想乡战略游戏【点分树】【带权重心】相关推荐

最新文章

热门文章