【UOJ188】 Sanrd【类min

题意：设f(i)f(i)f(i)表示iii的不严格次大质因子（没有为000），求∑i=lrf(i)\sum_{i=l}^rf(i)∑i=lrf(i)

l≤r≤1011l\leq r\leq10^{11}l≤r≤1011

这种和质因数有关的奇奇怪怪的函数的前缀和可以试试魔改min_25筛

设

S(n,j)=∑i=2n[minp(i)>pj]f(i)S(n,j)=\sum_{i=2}^n[minp(i)>p_j]f(i)S(n,j)=i=2∑n[minp(i)>pj]f(i)

枚举最小的质因子pkp_kpk以及次数eee

如果pkp_kpk不是次大质因子，直接递归到S(⌊npke⌋,k)S(\lfloor\frac{n}{p_k^e}\rfloor,k)S(⌊pken⌋,k)

否则考虑pkp_kpk的贡献

如果是严格次大，那么枚举最大的质因子

否则就是[e>1][e>1][e>1]

S(n,j)=∑k=j+1pk≤n∑e=1pke≤n(S(⌊npke⌋,k)+∑i=pk+1⌊npke⌋[i∈prime]+[e>1])S(n,j)=\sum_{k=j+1}^{p_k\leq\sqrt n}\sum_{e=1}^{p_k^e\leq n}(S(\lfloor\frac{n}{p_k^e}\rfloor,k)+\sum_{i=p_k+1}^{\lfloor\frac{n}{p_k^e}\rfloor}[i\in prime]+[e>1])S(n,j)=k=j+1∑pk≤ne=1∑pke≤n(S(⌊pken⌋,k)+i=pk+1∑⌊pken⌋[i∈prime]+[e>1])

注意pk+1p_k+1pk+1可能大于⌊npke⌋\lfloor\frac{n}{p_k^e}\rfloor⌊pken⌋，要特判一下

然后用min_25的方法预处理出质数个数的前缀和即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#define MAXN 1000005
using namespace std;
const int N=1e6;
int np[MAXN],pl[MAXN],cnt;
void init()
{np[1]=1;for (int i=2;i<=N;i++){if (!np[i]) pl[++cnt]=i;for (int j=1,x;(x=i*pl[j])<=N;j++){np[x]=1;if (i%pl[j]==0) break;}}
}
typedef long long ll;
ll val[MAXN],n,m;
int key[MAXN],yek[MAXN],tot;
inline int getkey(ll x){return x<=m? key[x]:yek[n/x];}
ll g[MAXN];
ll S(ll n,int j)
{if ((ll)pl[j]*pl[j]>n) return 0;ll sum=0;for (int k=j+1;(ll)pl[k]*pl[k]<=n&&k<=cnt;k++)for (ll e=1,v=pl[k];v<=n;e++,v*=pl[k])sum+=S(n/v,k)+pl[k]*(max(0ll,g[getkey(n/v)]-k)+(e>1));return sum;
}
ll solve(ll N)
{m=sqrt(n=N);tot=0;for (ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);val[++tot]=n/l;if (val[tot]<=m) key[val[tot]]=tot;else yek[n/val[tot]]=tot;}for (int i=1;i<=tot;i++) g[i]=val[i]-1;for (int j=1;j<=cnt;j++)for (int i=1;(ll)pl[j]*pl[j]<=val[i];i++)g[i]-=g[getkey(val[i]/pl[j])]-j+1;return S(n,0);
}
int main()
{init();ll l,r;cin>>l>>r;cout<<solve(r)-solve(l-1);return 0;
}

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