【数据结构与算法】二分查找

一、什么是二分查找？

二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次通过跟区间中间的元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间缩小为0。

二、时间复杂度分析？

1.时间复杂度
假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，最坏的情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。所以，每次查找的数据大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^{k)，…，这是一个等比数列。当n/(2}k)=1时，k的值就是总共缩小的次数，也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以时间复杂度是O(logn)。
2.认识O(logn)
①这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么？
②因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
③由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。

三、如何实现二分查找？

1.循环实现
代码实现：

public int binarySearch1(int[] a, int val){int start = 0;
int end = a.length - 1;
while(start <= end){int mid = start + (end - start) / 2;
if(a[mid] > val) end = mid - 1;
else if(a[mid] < val) start = mid + 1;
else return mid;
}
return -1;
}

注意事项：
①循环退出条件是：start<=end，而不是start<end。
②mid的取值，使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因为如果start和end比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即start + ((end - start) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
③start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接写成start = mid，end=mid，就可能会发生死循环。
2.递归实现

public int binarySearch(int[] a, int val){return bSear(a, val, 0, a.length-1);
}
private int bSear(int[] a, int val, int start, int end) {if(start > end) return -1;
int mid = start + (end - start) / 2;
if(a[mid] == val) return mid;
else if(a[mid] > val) end = mid - 1;
else start = mid + 1;
return bSear(a, val, start, end);
}

四、使用条件（应用场景的局限性）

1.二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。
2.二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
3.数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
4.数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。

五、四种常见的二分查找变形问题

1.查找第一个值等于给定值的元素


public int bsearch(int[] a, int n, int value) {int low = 0;int high = n - 1;while (low <= high) {int mid =  low + ((high - low) >> 1);if (a[mid] > value) {high = mid - 1;} else if (a[mid] < value) {low = mid + 1;} else {if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;else high = mid - 1;}}return -1;
}

2.查找最后一个值等于给定值的元素
如果 a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；如果 a[mid]的后一个元素 a[mid+1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。
如果我们经过检查之后，发现 a[mid]后面的一个元素 a[mid+1]也等于 value，那说明当前的这个 a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新 low=mid+1，因为要找的元素肯定出现在[mid+1, high]之间。


public int bsearch(int[] a, int n, int value) {int low = 0;int high = n - 1;while (low <= high) {int mid =  low + ((high - low) >> 1);if (a[mid] > value) {high = mid - 1;} else if (a[mid] < value) {low = mid + 1;} else {if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;else low = mid + 1;}}return -1;
}

3.查找第一个大于等于给定值的元素
如果 a[mid]小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新 low=mid+1。
对于 a[mid]大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果 a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid]就是我们要找的元素。
如果 a[mid-1]也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将 high 更新为 mid-1。


public int bsearch(int[] a, int n, int value) {int low = 0;int high = n - 1;while (low <= high) {int mid =  low + ((high - low) >> 1);if (a[mid] >= value) {if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;else high = mid - 1;} else {//肯定low = mid + 1;}}return -1;
}

4.查找最后一个小于等于给定值的元素


public int bsearch(int[] a, int n, int value) {int low = 0;int high = n - 1;while (low <= high) {int mid =  low + ((high - low) >> 1);if (a[mid] >= value) {if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;else high = mid - 1;} else {low = mid + 1;}}return -1;
}

六、适用性分析

1.凡事能用二分查找解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树，即便二分查找在内存上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。
2.求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么用到，二分查找更适合用在”近似“查找问题上。比如上面讲几种变体。

五、思考

1.如何在1000万个整数中快速查找某个整数？
我们的内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的限制。我们可以先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。
①1000万个整数占用存储空间为40MB，占用空间不大，所以可
以全部加载到内存中进行处理；
②用一个1000万个元素的数组存储，然后使用快排进行升序排序，时间复杂度为O(nlogn)
③在有序数组中使用二分查找算法进行查找，时间复杂度为O(logn)
2.如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位？

public static double sqrt(double x, double precision) {if (x < 0) {return Double.NaN;
}
double low = 0;
double up = x;
if (x < 1 && x > 0) {/** 小于1的时候*/
low = x;
up = 1;
}
double mid = low + (up - low)/2;
while(up - low > precision) {if (mid * mid > x ) {//TODO mid可能会溢出 改成mid > x / mid
up = mid;
} else if (mid * mid < x) {low = mid;
} else {return mid;
}
mid = low + (up - low)/2;
}
return mid;
}

3.如何快速定位出一个IP地址的归属地？
[202.102.133.0, 202.102.133.255] 山东东营市
[202.102.135.0, 202.102.136.255] 山东烟台
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛
[202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁
[202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州
[202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港
假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个IP地址的归属地呢？
如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序
。然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。
当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。

笔记整理来源：王争数据结构与算法之美